Question

Вычислить пределы последовательностей

$lim_{n to infty} ( sqrt{n+1} )- sqrt{n-1} )$

Answer 1

Решение
lim n-->∞ [√(n + 1) - √(n - 1)] =
lim n-->∞ {[√(n + 1) - √(n - 1)] * [√(n + 1) + √(n - 1)]} /  [√(n + 1) + √(n - 1)] =
= lim n-->∞ {[√(n + 1)]² - [√(n - 1)]²} /  [√(n + 1) + √(n - 1)] =
= (n + 1 - n - 1) / [√(n + 1) + √(n - 1)] = 2 /  [√(n + 1) + √(n - 1)] 
разделим числитель и знаменатель на √n
lim n-->∞ 2 / √n * (√((n + 1) / n) + √((n - 1)/n)) = 
= lim n-->∞ 2 / [√n *(√(1 + 1/n) + √(1 - 1/n)] = 2 / [∞ * (1 + 1) ] = 2/∞ = 0