Question

Найдите  наименьшей значение функции 

Y= (х+4)в квадрате ( х+8)+2 на отрезке [-5;8]

С Решением пожалуйста 

Answer 1

Найдем производную функции

$frac{dy}{dx}((x+4)^2*(x+8)+2)=frac{d}{dx}((x+4)^2*(x+8))+frac{d}{dx}(2)$, где $frac{d}{dx}(2)=0$

$frac{d}{dx}((x+4)^2*(x+8))=2(x+4)*1*(x+8)+(x+4)^2*1$, это находится по правилу деффиренцирования.

Значение функции может принимать максимальное или минимальное значение в точках касания, когда касательная параллельна оси ОХ, т.е. угловой коэффициент этой прямой равен 0, т.к.tg0=0 значит $2(x+4)*1*(x+8)+(x+4)^2*1=0$], решаем квадратное уравнение:

$2(x+4)(x+8)+(x+4)^2=0$

$3 x^2+32 x+80=0$

Корни:x=-20/3=-6,(6), он не подходит т.к. x может принимать значения от -5 до 8,

2-ой корень x=-4, подставим это значение в начальную функцию:$y=(x+4)^2(x+8)+2$ и получим y=2, теперь подставим -5 и 8:

x=-5,y=5

x=8,y=2306, т.е. наименьшее значение функции y=2

Ответ:$y_{min}=2$

И график в доказательство