Question

. В комнате собрались три человека. Каждый из них либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт, либо хитрец, который может и го- ворить правду и лгать по своему желанию. Один из собравшихся сказал: «Среди нас есть лжец». Другой сказал: «Среди любых двух из нас есть лжец». Третий сказал: «Все мы — лжецы». Докажите, что среди собравшихся есть хитрец

Answer 1

Третий солгал. Если бы он сказал правду, то они все лжецы.
Тогда получается, что лжец сказал правду, а это невозможно.
Значит, он или лжец, или хитрец.
Если второй сказал правду, то среди них должно быть 2 лжеца.
Иначе какие-то двое могут образовать пару, в которой лжеца нет.
Но тогда первый тоже сказал правду - среди них есть лжец.
Значит, ни первый, ни второй не могут быть лжецами.
Получили противоречие.
Рассмотрим все варианты.
1) 1 рыцарь, 2 и 3 лжецы. Тогда 1 и 2 сказали правду. Противоречие.
2) 1 рыцарь, 2 и 3 хитрецы, которые врут. Противоречия нет.
3) 1 рыцарь, 2 хитрец, который врет, 3 лжец. Противоречия нет.
4) 1 рыцарь, 3 хитрец, который врет, 2 лжец. Противоречия нет.
5) 1 хитрец, сказавший правду, 2 и 3 лжецы. Тогда 2 лжец сказал правду.
Противоречие.
6) 1 хитрец, сказавший правду, 2 хитрец, который врет, 3 лжец.
Противоречия нет.
7) 1 хитрец, сказавший правду, 3 хитрец, который врет, 2 лжец.
Противоречия нет.
8) 1 хитрец, который врет. Тогда среди них нет ни одного лжеца,
но 3 явно врет. Значит, он хитрец.
9) 1 лжец. Тогда он сказал правду про самого себя.
Противоречие, остальных даже рассматривать нет смысла.
Во всех случаях, если нет противоречия, то среди них есть хитрец.