Question

Решите систему уравнений:
х^2+ху=4у
у^2+ху=4х

Answer 1

$begin{cases} x^2+xy=4y \ y^2+xy=4x right end{cases} \ begin{cases} x^2+xy=4y \ -y^2-xy=-4x right end{cases}$
Складываем уравнения:
$x^2-y^2=4y-4x \ (x-y)(x+y)=-4(x-y) \ (x-y)(x+y)+4(x-y)=0 \ (x-y)(x+y+4)=0$
Если первый множитель равен нулю, то:
$x-y=0 \ Rightarrow x=y \ y^2+ycdot y=4y \ 2y^2=4y \ y^2-2y=0 \ y(y-2)=0 \ y_1=0 Rightarrow x_1=0 \ y_2=2 Rightarrow x_2=2$
Если второй множитель равен нулю, то:
$x+y+4=0 \ x=-(y+4) \ y^2-(y+4)y=-4(y+4) \ y^2-y^2-4y=-4y-16 \ 0=-16$
Последнее равенство неверно, значит в этом случае решений нет.
Ответ: (0; 0); (2; 2)