Question

Найдите угол между двумя смежными гранями правильного октаэдра.

Answer 1

Примем длину ребра за 1.
Апофема грани равна 1*cos(60/2) = √3 / 2.
Проведём сечение октаэдра через вершину перпендикулярно ребру.
Получим фигуру из двух треугольников.
Рассмотрим один из них.
Это равнобедренный треугольник,  основание равно ребру октаэдра, 2 стороны - это апофемы боковых граней.
Угол при основании - это половина двугранного угла октаэдра.
Его находим по теореме косинусов:
$frac{ beta }{2}=arc cos( frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} ) = arccos( frac{ (frac{sqrt{3}}{2})^2+1^2- (frac{sqrt{3}}{2})^2}{2* frac{ sqrt{3} }{2}*1 } =arc cosfrac{1}{ sqrt{3} } =54,73561$°.
Ответ: угол между двумя смежными гранями правильного октаэдра равен 2*54,73561 =  109.4712°.