Question

lim x->0 (1-cos7x)/(x*sin7/2* (x))

Answer 1

$lim_{xto 0}, frac{1-cos7x}{xcdot sinfrac{7}{2}x}=lim_{xto 0} , frac{2sin^2frac{7x}{2}}{xcdot sinfrac{7x}{2}} =lim_{xto 0}, frac{2sinfrac{7x}{2}}{x}=\\=lim_{xto 0}, frac{2sinfrac{7x}{2}}{frac{7x}{2}}cdot frac{2}{7}=lim_{xto 0}frac{4}{7}cdot frac{sinfrac{7x}{2}}{frac{7x}{2}} =frac{4}{7}\\P.S.; ; 1-cos alpha =2sin^2frac{ alpha }{2}$

Answer 2

При умножении знаменателя на семь вторых, после дроби те же семь вторых надо записать, а не две седьмых. тогда в ответе ровно 7 получится

Answer 3

$lim_{x to 0} frac{(1-cos7x)}{x*sinfrac{7}2x}= lim_{x to 0} frac{(1-cos7x^{to1})}{(x^{to0}*sinfrac{7}2x^{to0})}=frac{1-1}{0*0}=frac{0}0=(*)$
Попробуем разложить знаменатель по формуле синус половинного угла
$lim_{x to 0} frac{(1-cos7x)}{x*sinfrac{7}2x}=lim_{x to 0} frac{(1-cos7x)}{x*sqrt{frac{1-cos7x}{2}}}=lim_{x to 0} frac{(1-cos7x)}{x*sqrt{1-cos7x}*sqrt{frac{1}{2}}}=\ =lim_{x to 0} frac{sqrt{1-cos7x}}{sqrt{frac{1}{2}}x}=(*)\ t=cos7x\ x to 0; t to1\ arccos t=arccos(cos7x)=7x\ x=frac{arccos t}7\ (*)=lim_{t to 1}frac{sqrt t^{to1}}{sqrt{frac{1}2}frac{arccos t^{to0}}7}=frac{1}0=infty$