Question

Решить уравнение:
$frac{x^2+x-2}{6x^2-3x} = sqrt{2x} + frac{3x^2}{2}$

Answer 1

Если обозначить левую часть f(x), а правую g(x), то f(x)=(x+2)(1-x)/(3x(1-2x)).
1) Если 0<x<1/2, то x(1-2x)≤1/8, x+2>2, 1-x>1/2, поэтому
f(x)>2·(1/2)/(3·1/8)=8/3. С другой стороны, т.к. g(x) монотонно возрастает, то g(x)<g(1/2)=11/8<8/3<f(x). Т.е. на интервале (0;1/2) корней нет.
2) Если 1/2<x<1, то f(x)<0, а g(x)>0, значит на (1/2;1) тоже нет корней.
3) Если x>1, то x-1<2x-1, откуда
f(x)<(x+2)(2x-1)/(3x(2x-1))=1/3+2/(3x)<1/3+2/3=1.
При этом, g(x)>g(1)=√2+3/2>1. Т.е. на (1,+∞) корней нет. Ответ: решений нет.

Answer 2

Спасибо!