Question

lgx=1/2lg3+2/3lg5-1/4lg4


lgx=1/2lg5+lg корень из 5 +1/4lg25

Answer 1

Стоит вспомнить некоторые свойства логарифмов, которые нам понадобятся (буду показывать на примере десятичного логарифма, который присутствует у нас, но это относится абсолютно ко всем логарифмам):
a*lgx=lg(x)^a
lga+lgb=lg(a*b)

Итак, начнём упрощать имеющееся выражение по вышеизложенным свойствам:

2) lgx=lg(5)^(1/2)+lg√5 +1/4*lg(5)^2

Заметим, что число в дробной степени (к примеру в степени 1/2 - это корень из этого числа, степень которого является числом знаменателя (квадратный корень - 2)):

lgx=lg√5+lg√5 +lg(5^(2/4))
lgx=lg(√5*√5) + lg5^(1/2)
lgx=lg5+lg√5
lgx=lg5*√5

Основания у логарифмов одинаковые (10-десятичный логарифм), поэтому логарифмы можно опустить, тогда получим:
х=5*√5

Это и будет ответ.

Первый пример выполняется аналогичным способом. У вас, видимо, идёт тренировка на свойства логарифмов.
По аналогии решим первое уравнение:

lgx=lg3^(1/2)+lg5^(2/3)-1/4*lg2^2
lgx=lg5^(2/3)*√3-lg2^(2/4)
lgx=lg5^(2/3)*√3-lg2^(1/2)
lgx=lg[5^(2/3)*√3/√2]
$x= frac{sqrt[3]{ 5^{2} }* sqrt{3} }{ sqrt{2} }$