Question

Решить уравнение:

$6ctg{x} + 12 + tg^2{x} = 2 - 6tg{x} - ctg^2{x}$ ;


*** ответ не должен содержать в явном виде обратных функций:
$arcsin(), arccos(), arctg()$ или $arcctg() .$

Answer 1

Переносим всё в одну часть и немного шаманим:
$mathop{mathrm{tg}}^2x+6mathop{mathrm{tg}}x+6mathop{mathrm{ctg}}x+mathop{mathrm{ctg}}^2x+10=0\ (mathop{mathrm{tg}}^2x+2+mathop{mathrm{ctg}}^2x)+6(mathop{mathrm{tg}}x+mathop{mathrm{ctg}}x)+8=0\ (mathop{mathrm{tg}}x+mathop{mathrm{ctg}}x)^2+6(mathop{mathrm{tg}}x+mathop{mathrm{ctg}}x)+8=0$

Полученное уравнение - квадратное относительно tg x + ctg x = t:
$t^2+6t+8=0$

Решение - t = -2 или t = -4. Разбираем случаи.
1. t = -2.
tg x + ctg x = -2
tg x + 1/tg x = -2
tg^2 x + 2 tg x + 1 = 0
tg x = -1
x = -π/4 + πk, k ∈ Z
2. t = -4
tg x + ctg x = -4
tg x + 1/tg x = -4
tg^2 x + 4 tg x + 1 = 0
tg x = -2 +- √3 -- скорее всего, вы не знаете, чему равен арктангенс. Поэтому посчитаем по-другому....

sin x / cos x + cos x / sin x = (sin^2 x + cos^2 x) / sin x cos x = 2 / sin 2x
2 / sin 2x = -4
sin 2x = -1/2
2x = (-1)^(n + 1) * π/6 + πn, n ∈ Z
x = (-1)^(n + 1) * π/12 + πn/2, n ∈ Z

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что посторонних корней не появилось, так что ответ - две строчки, выделенные полужирным начертанием. 

Answer 2

Оk :–) Всё так. Я бы тут, после начального преобразования, воспользовалась легко доказываемым тождеством о сумме тангенса и котангенса: tga+ctga=2/sin2a. Тогда сразу было бы sin2a=–1 и sin2a=–1/2 откуда и всё те же решения.

Answer 3

Я всё же надеюсь, что кто-то найдёт эту задачку, не зная предварительно решения) Тогда получатся два подхода к решению уравнения tg x + ctg x = a :)

Answer 4

Будем надеяться ! :–) С Подступающим!

Answer 5

И вас