Question

Биссектриса BD треугольника ABC равна 6 и делит сторону AC га отрезки AD=3 и DC=4. в треугольники ABC и CBD вписаны окружности, они косаются стороны АС в точках К и М. Нати длину отрезка КМ.

Answer 1

Используем формулу длины биссектрисы:
$L= sqrt{AB*BC-AD*DC}$.
Обозначим АВ=с, ВС=а.
Возведём в квадрат:
$L^2=a*c-3*4$
Отсюда а*с=36+12=48         (1).
Биссектриса делит сторону АС пропорционально боковым сторонам.
3/с = 4/а
или с = (3/4)*а.
Подставим в уравнение (1):
а*((3/4)*а) = 48
а² =(48*4) / 3 = 64
а = √64 = 8.
с = (3*8) / 4 =6.
Находим радиус окружности, вписанной в треугольник АВС:
$r= sqrt{ frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} } = sqrt{ frac{(10.5-8)(10.5-7)(10.5-6)}{10.5} } =1,936492.$
Аналогично находим радиус окружности, вписанной в треугольник 
ДВС: r₁=1,290994.
Разность r - r₁ = 0,645498.
По теореме косинусов находим величину угла С:
$C=arccos frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} =arccos frac{8^2+7^2-6^2}{2*8*7} =arccos 0,6875$.
С =  0.812756 радиан = 46.56746°.
Центры окружностей с радиусами r и r₁ лежат на биссектрисе угла С.
Тангенс угла С/2 = tg(46.56746 / 2) = tg  23.28373° = 0,43033.
Тогда длина отрезка КМ равна:
КМ = (r-r₁) / tg(C/2) = 0,645498 / 0,43033 = 1,5.

Answer 2

Ответ неверный! Правильный ответ - 2,5. И решение значительно проще!

Answer 3

По теореме косинусов В тр-ке АВD: Cosα = (b²+c²-a²)/2bc.(α угол между b и c). b=АВ=(3|4)*BC, с=BD=6, а=KD=3, Cos(ADВ)=((9/16)ВС²+27)/9ВС. В тр-ке DВС: b=BD=6, с=BС, а=KС=4. Cos(ADВ)=(ВС²+20)/12ВС. ВD бис-са,((9/16)ВС²+27)/9ВС=(ВС²+20)/12ВС. ВС=8,а АВ=6.

Answer 4

В тр-ке расст. от верш. тр-ка до точки касания впис.окружности со стороной тр-ка, выходящей из данной вершины, есть разность полуперим. тр-ка и стороны, противолежащей данной вершине. В тр-ке АВС:р=(6+8+7)/2=10,5. СK=p–АВ. СК=10,5-6=4,5 В тр-ке DВС р1=(4+6+8)/2=9. СМ=р1-BD.СМ=9-6=3.Тогда КМ=СК-СМ=4,5-3=1,5. Что подтверждает правильность решения Dnepr1.

Answer 5

Все верно. Только описка в записи. Не КD=3, а Аd=3, и не ,КС, а DС.=4.........................

Answer 6

Спасибо, совершенно невнимательным стал...