Question

в запасе ремонтной мастерской 10 поршневых колец три из них восстановленные. Определите вероятность того, что среди взятых наугад четырёх колец два окажутся восстановленными ?

Answer 1

Разложим все кольца на столе в ряд. Пусть первые $7$ – новые, а последние $3$ – восстановленные.

Рассмотрим неупорядоченные выборки. Т.е., например, если мы берём набор колец (по порядку на столе) $1358$ и, скажем: $8315$ – то такие выборки при анализе мы различать не будем. Ну и правда – это ведь один и тот же набор. Переставить четыре разных элемента можно 24 способами, т.е. $1358 , 1385 , 1538 , 1583 , 1835$ и т.п. Вообще, если задуматься (или прочитать в учебнике :–), то легко понять, что число таких перестановок, это $4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 = 24 ,$ что иначе называется $4 ! = 24 .$

Аналогично можно показать, что число перестановок для трёх элементов – это $3 ! = 6 .$ В самом деле, ведь, например, комбинацию $138$ можно переставить 6-ью способами $138 , 183 , 318 , 381 , 813$ и $831 .$ Аналогично число перестановок для двух элементов составляет $2 ! = 2 ,$, в самом деле, ведь, например, комбинацию $18$ можно переставить только 2-мя способами $18$ и $81 .$


Теперь подумаем, сколькими способами можно вообще выбрать из $10$ колец какие-то $4 ?$ Первое можно выбрать, как одно из 10-ти, второе – как одно из оставшихся 9-ти, третье, как одно из оставшихся 8-ми, и четвёртое, как одно оставшееся из 7, всего: $10 cdot 9 cdot 8 cdot 7$ вариантов. При этом как мы говорили выше, выборки $1358 , 1385 , 1538 , 1583 , 1835$ и т.п. (всего 24 штуки) ничем не отличаются, значит, общее число неупорядоченных выборок 4 элементов из 10 будет $10 cdot 9 cdot 8 cdot 7 / 24 = 10 cdot 9 cdot 7 / 3 = 10 cdot 3 cdot 7 = 210 .$


[0] А теперь выясним, сколько можно сделать выборок из 10 колец, чтобы среди них содержались только 4 новых? Да просто не будем брать восстановленные, а будем брать всё из первых семи. Тогда общее число таких выборок составит $7 cdot 6 cdot 5 cdot 4$ вариантов. И поскольку в каждом таком варианте можно 24 способами переставить элементы, то всего неупорядоченных выборок будет в 24 раза меньше, а именно: $7 cdot 6 cdot 5 cdot 4 / 24 = 7 cdot 5 = 35 .$

Вероятность достать только новые кольца найдём, как отношение неупорядоченных выборок новых колец ко всем возможным выборкам, т.е. : $P_o = 35/210 = 5/30 = frac{1}{6} approx 16.67 % .$


[I] Выясним, сколько можно сделать выборок из 10 колец, чтобы среди них содержались только 3 новых, и только – одно восстановленное? Выбреем три восстановленных из первых семи. Это можно сделать $7 cdot 6 cdot 5$ способами. И поскольку в каждом таком варианте можно 6-тью способами переставить элементы, то всего неупорядоченных выборок будет в 6 раза меньше, а именно: $7 cdot 6 cdot 5 / 6 = 7 cdot 5 = 35 .$ Кроме того таких возможностей будет втрое больше из-за того, что ко всякой выборке трёх новых колец можно добавить одно из трёх (!) восстановленных. Значит, общее число способов достать одно восстановленное и три новых составляет $105 .$

Вероятность достать ровно три новых кольца и одно восстановленное найдём, как отношение таких неупорядоченных выборок ко всем возможным выборкам, т.е. : $P_I = 105/210 = frac{1}{2} = 50 % .$


[III] Выясним, сколько можно сделать выборок из 10 колец, чтобы среди них содержались ровно 3 восстановленных и только одно новое? Три восстановленных можно выбрать только одним способом (!) – просто взять их все :–). Кроме того таких возможностей будет в семь раз больше из-за того, что ко взятым восстановленным кольцам можно добавить одно из семи (!) новых. Значит общее число способов достать одно новое и три восстановленных составляет $7$ вариантов.

Вероятность достать ровно три восстановленных кольца и одно новое найдём, как отношение таких неупорядоченных выборок ко всем возможным выборкам, т.е. : $P_{III} = 7/210 = frac{1}{30} approx 3.33 % .$


[IV] Очевидно, что достать четыре восстановленных кольца – невозможно, поэтому: вероятность достать ровно четыре восстановленных кольца равно нулю. $P_{IV} = 0 .$


[II] Всего существует $100 %$ сделать какие бы то ни было выборки, значит вероятность выбрать ровно два восстановленных и ровно два новых кольца вычисляется как разность:

$P_{II} = 1 - ( P_o + P_I + P_{III} + P_{IV} ) = 1 - ( frac{1}{6} + frac{1}{2} + frac{1}{30} + 0 ) = 1 - ( frac{5}{30} + frac{15}{30} + frac{1}{30} ) =$

$= 1 - frac{5+15+1}{30} = 1 - frac{21}{30} = 1 - frac{7}{10} = 1 - 0.7 = 0.3 = 30 %$



А теперь можно ответить на поставленный в задаче вопрос.

Но (!) его следует уточнить.

!!!! Ответы смотрите во вложенном изображении !!!

(сервис ограничивает 5000 символов, не влезло)