Question

1. Упростите выражения:

а) 1 - sin2 альфа / cos2 альфа

б) 1 - cos 2 альфа / 1 - sin2 альфа

в)( 1+ tg2 альфа) * cos2 альфа - sin2 альфа

г) (ctg2 альфа + 1) * sin2 альфа - cos2 альфа

 

2. Найдите cos альфа, если извесно, что sin альфа= 1/5 , пи/2 < альфа < пи

 

3. Упростите выражения:

а) 1 - sin2x 

б) 1 - cos2x

в) 1 - cos2 альфа - sin2 альфа

Answer 1

Задание 1
$dfrac{1-sin2 alpha }{cos2 alpha } = dfrac{cos^2 alpha +sin^2 alpha -sin2 alpha }{cos^2 alpha -sin^2 alpha } = dfrac{(cos alpha -sin alpha )^2}{(cos alpha -sin alpha )(cos alpha +sin alpha )} =\ \ \ = dfrac{cos alpha -sin alpha }{cos alpha +sin alpha }$

$displaystyle frac{1-cos2 alpha }{1-sin2 alpha } = frac{1-1+2sin^2 alpha }{1-sin2 alpha } = frac{ 2sin^2 alpha }{(sin alpha -cos alpha )^2}$

$(1+tg2 alpha )cdot cos2 alpha -sin2 alpha =cos2 alpha +sin2 alpha -sin2 alpha =cos2 alpha$

$(ctg2 alpha +1)cdot sin2 alpha -cos2 alpha =cos2 alpha +sin2 alpha -cos2 alpha =sin2 alpha$

Задание 2.

Рассмотрим с помощью прямоугольного треугольника.

Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть:
1 - противолежащий катет
 5 - гипотенуза
По т. Пифагора:
$sqrt{5^2-1^2} =2sqrt{6}$  - прилежащий катет.

Косинус во второй четверти отрицателен.
Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе

$cos alpha =- dfrac{2sqrt{6} }{5}$

Задание 3.

$1-sin2x=sin^2x+cos^2x-sin2x=(sin x-cos x)^2$

$1-cos2x=1-1+2sin^2x=2sin^2x$

$1-cos2 alpha -sin2 alpha =1-1+2sin^2 alpha -sin2 alpha =2sin alpha (sin alpha -cos alpha )$