Question

Вычислить площадь (плоской) фигуры, ограниченной линиями:
(во вложений)
С полным решением. Помогите пожалуйста...

Answer 1

Вычислить площадь плоской фигуры ограниченной линиями

$y= sqrt{4-x^2}$,  y=0, x=0, x=1

Решение:

Графики линий и сама плоская фигура начерчены в файлах.

Площадь фигуры найдем по формуле

$S= intlimits^1_0 { sqrt{1-x^2} } , dx$

Найдем в начале неопределенный интеграл применим подстановку новой переменной  х=2sin(u)

$intlimits{ sqrt{4-x^2} } , dx = begin{vmatrix}x=2sin(u)\dx=2cos(u)duend{vmatrix}=intlimits{ 2cos(u)sqrt{4-4sin^2(u)} } , du=$

$=intlimits{ 2cos(u)sqrt{4(1-sin^2(u))} } , du=intlimits{ 4cos(u)sqrt{cos^2(u)} } , du=$

$=intlimits{ 4cos^2(u) } , du=2intlimits{(1+cos(2u))} } , du=2intlimits{} } , du+2intlimits{cos(2u)} } , du=$

$=2u+intlimits{cos(2u)} } , d2u=2u+sin(2u)=2u+2sin(u)cos(u)=$

$=2u+2sin(u) sqrt{1-sin^2(u)}$

Производим обратную замену sin(u)=x/2,  u=arcsin(x/2)

$2u+2sin(u) sqrt{1-sin^2(u)} =2arcsin( frac{x}{2})+ x sqrt{1- frac{x^2}{4}} =$

$=2arcsin( frac{x}{2})+ frac{x}{2}sqrt{4- x^2}$

Поэтому неопределенный интеграл равен

$intlimits{ sqrt{4-x^2} } , dx=2arcsin( frac{x}{2})+ frac{x}{2}sqrt{4- x^2}$

Находим площадь фигуры

$S= intlimits^1_0 { sqrt{1-x^2} } , dx =2arcsin( frac{x}{2})+ frac{x}{2}sqrt{4- x^2}begin{vmatrix}x=1\x=0end{vmatrix}=$

$=2arcsin( frac{1}{2})+ frac{1}{2}sqrt{4- 1^2}-2arcsin( frac{0}{2})+ frac{0}{2}sqrt{4- 0^2}=$

$=2arcsin( frac{1}{2})+ frac{ sqrt{3}}{2}=2* frac{pi}{6} + frac{ sqrt{3}}{2}=frac{pi}{3} + frac{ sqrt{3}}{2}approx 1,913$

Ответ: S=π/3+√3/2≈1,913

б)$left { {{x=2 sqrt{2}cos(t) atop {y=5 sqrt{2}sin(t) }} (right. y geq 0)$

Графики линий и сама плоская фигура начерчены в файлах.

Площадь фигуры найдем по формуле

$S= intlimits^{t_2}_{t_1} { y(t)x'(t)} } , dt$

Производная переменной х по t равна

$x'(t)=(2 sqrt{2}cos(t))'=-2 sqrt{2}sin(t)$

$S= -intlimits^{0}_{pi} {(5 sqrt{2}sin(t)*2 sqrt{2}sin(t)}) } , dt =intlimits^{pi}_{0} {20sin^2(t) } , dt=$

$=10intlimits^{pi}_{0} {(1-cos(2t))} , dt=10intlimits^{pi}_{0} dt-5intlimits^{pi}_{0} {cos(2t)} , d2t=$

$(10t-5sin(2t))begin{bmatrix}t_2=pi\t_1=0end{bmatrix}=10pi-5sin(2pi)-10*0+5sin(2*0)=10pi$

Ответ: 10π≈31,4

в) r =4сos($psi$)

Плоская фигура начерчена в файлах.

Площадь фигуры найдем по формуле

$S= frac{1}{2} intlimits^{ beta} _{ alpha } {r^2(psi)} , dpsi$

Так как фигура состоит из 8 одинаковых симметричных лепестков, то определим площадь половинки  лепестка и умножим на 16. При этом углы интегрирования будут равны
$alpha =0$   $beta = frac{pi}{8}$

$S= 16*frac{1}{2} intlimits^{ frac{pi}{8} } _{ 0 } {16cos^2(4psi)} , dpsi=128intlimits^{ frac{pi}{8} } _{ 0 } {cos^2(4psi)} , dpsi=64intlimits^{ frac{pi}{8} } _{ 0 } {(1+cos(8psi))} , dpsi$

$=64intlimits^{ frac{pi}{8} } _{ 0 } {} , dpsi+8intlimits^{ frac{pi}{8} } _{ 0 } {cos(8psi)} , d8psi=(64psi+8sin(8psi))begin{vmatrix}beta =frac{pi}{8}\ alpha =0end{vmatrix}=$

$64* frac{pi}{8}+8sin(8* frac{pi}{8} )-64*0+8sin(8*0)=8piapprox 25,1$

Answer 2

В файлах начерчены плоские фигуры