Question

Мама каждый день выдает Саше на десерт по одному фрукту. У нее есть три одинаковых яблока, пять одинаковых груш, два одинаковых персика и один апельсин. Сколькими способами она может выдать эти фрукты за 11 дней?

Answer 1

*** подробное разжёвывание для тех, кто тоже не понимает


В большом классе задач по комбинаторике самый быстрый путь подсчёта осуществляется специальным приёмом, заключающимся в том, что мы «метим» (нумеруем, делаем различимыми) неразличимые объекты, делая этой операцией их различимыми. При этом оказывается, что в таком предварительном подсчёте числе комбинаций различаются наборы [апельсины №1 и №2] и [апельсины №2 и №1], поэтому конечных комбинаций нужно брать в два раза меньше, чем предварительных.

Если мы «помечаем» не два, а три неразличимых объекта и начинаем их различать на этапе промежуточных вычислений, то предварительный подсчёт числа комбинаций оказывается в $6$ раз больше, поскольку мы различаем $6$ комбинаций ABC, ACB, BAC, BCA, CAB и CBA. Поэтому для получения конечного числа комбинаций нужно промежуточный вариант разделить на $6=3!$

При любом другом числе $n$ условно-различимых объектов нужно делить промежуточное число на $n!$


$3$ яблока $+ 5$ груш $+ 2$ персика $+$ апельсин $= 11$ объектов.

Итак, всего у мамы есть 11 объектов. Пометим все изначально неразличимые объекты, так что получится первое яблоко, второе яблоко, третье яблоко, первая груша, вторая груша и т.п.

Всего все такие условно-различимые объекты можно переставить $(11!)$ способами.

НО ! Среди них не различимы $3$ яблока, а значит $(3!)$ способов всех перестановок не различимы и нужно разделить на $(3!) .$

НО ! Среди них не различимы $5$ груш, а значит $(5!)$ способов всех перестановок не различимы и нужно разделить на $(5!) .$

НО ! Среди них не различимы $2$ персика, а значит $2!=2$ способа всех перестановок не различимы и нужно разделить на $2 .$


Всего, с учётом реальной неразличимости, поучим, что число вариантов $N$ равно:

$N = frac{11!}{5!3!2} = frac{ 11 cdot 10 cdot 9 cdot 8 cdot 7 cdot 6 }{3!2} = 11 cdot 10 cdot 9 cdot 4 cdot 7 = 27 720$


О т в е т : $27 720$ вариантов.



Все эти $27 720$ теоретически, конечно, можно было бы выписать, чтобы проиллюстрировать всю картину вариантов, но это заняло бы очень большой объём трудно воспринимаемого текста, поэтому, если уж и попытаться перечислить все возможные варианты, то тогда лучше составить полностью аналогичную модель на меньших числах. Возьмём не $3 ,$ а $2$ яблока, не $5 ,$ а $4$ груши, избавимся от персиков и оставим апельсин.

Тогда по такой же формуле, найдём, что общее количество вариантов их последовательной раскладки будет: $N_1 = frac{7!}{4!2} = frac{ 7 cdot 6 cdot 5 }{2} = 7 cdot 3 cdot 5 = 105$ ;


И Л Л Ю С Т Р А Ц И Я . В А Р И А Н Т О В . раскладки двух яблок, четырёх груш и апельсина:

Далее: Я – яблоко, г – груша и @ – апельсин.
При помощи функции поиска в браузере (Ctrl+F) можно проверить, что любая комбинация встречается всего один раз, а любая комбинация, которую можно было бы придумать, уже записана в перечне комбинаций.


  1. ЯЯгггг@
  2. ЯЯггг@г
  3. ЯЯгг@гг
  4. ЯЯг@ггг
  5. ЯЯ@гггг

  6. ЯгЯггг@
  7. ЯгЯгг@г
  8. ЯгЯг@гг
  9. ЯгЯ@ггг

 10. ЯггЯгг@
 11. ЯггЯг@г
 12. ЯггЯ@гг

 13. ЯгггЯг@
 14. ЯгггЯ@г

 15. ЯггггЯ@
 16. Ягггг@Я

 17. Яггг@Яг
 18. Яггг@гЯ

 19. Ягг@Ягг
 20. Ягг@гЯг
 21. Ягг@ггЯ

 22. Яг@Яггг
 23. Яг@гЯгг
 24. Яг@ггЯг
 25. Яг@гггЯ

 26. Я@Ягггг
 27. Я@гЯггг
 28. Я@ггЯгг
 29. Я@гггЯг
 30. Я@ггггЯ


 31. гЯЯггг@
 32. гЯЯгг@г
 33. гЯЯг@гг
 34. гЯЯ@ггг

 35. гЯгЯгг@
 36. гЯгЯг@г
 37. гЯгЯ@гг

 38. гЯггЯг@
 39. гЯггЯ@г

 40. гЯгггЯ@
 41. гЯггг@Я

 42. гЯгг@Яг
 43. гЯгг@гЯ

 44. гЯг@Ягг
 45. гЯг@гЯг
 46. гЯг@ггЯ

 47. гЯ@Яггг
 48. гЯ@гЯгг
 49. гЯ@ггЯг
 50. гЯ@гггЯ

 51. ггЯЯгг@
 52. ггЯЯг@г
 53. ггЯЯ@гг

 54. ггЯгЯг@
 55. ггЯгЯ@г

 56. ггЯггЯ@
 57. ггЯгг@Я

 58. ггЯг@Яг
 59. ггЯг@гЯ

 60. ггЯ@Ягг
 61. ггЯ@гЯг
 62. ггЯ@ггЯ

 63. гггЯЯг@
 64. гггЯЯ@г

 65. гггЯгЯ@
 66. гггЯг@Я

 67. гггЯ@Яг
 68. гггЯ@гЯ

 69. ггггЯЯ@
 70. ггггЯ@Я
 71. гггг@ЯЯ

 72. ггг@ЯЯг
 73. ггг@ЯгЯ
 74. ггг@гЯЯ

 75. гг@ЯЯгг
 76. гг@ЯгЯг
 77. гг@ЯггЯ

 78. гг@гЯЯг
 79. гг@гЯгЯ
 80. гг@ггЯЯ


 81. г@ЯЯггг
 82. г@ЯгЯгг
 83. г@ЯггЯг
 84. г@ЯгггЯ

 85. г@гЯЯгг
 86. г@гЯгЯг
 87. г@гЯггЯ

 88. г@ггЯЯг
 89. г@ггЯгЯ
 90. г@гггЯЯ


 91. @ЯЯгггг
 92. @ЯгЯггг
 93. @ЯггЯгг
 94. @ЯгггЯг
 95. @ЯггггЯ

 96. @гЯЯггг
 97. @гЯгЯгг
 98. @гЯггЯг
 99. @гЯгггЯ

100. @ггЯЯгг
101. @ггЯгЯг
102. @ггЯггЯ

103. @гггЯЯг
104. @гггЯгЯ
105. @ггггЯЯ

Answer 2

Как я говорю -ПРОЦЕСС ПОШЕЛ. КОНЕЦ СВЯЗИ.

Answer 3

Да, да. Никогда не было – и вот опять.

Answer 4

Если у мамы 11 фруктов на месяц, то 11 дней фрукт ЕСТЬ, а 19 НЕТ и никаких 27000 способов у неё НЕТ.

Answer 5

с ответом согласен, особая благодарность за терпение и за подробность

Answer 6

Спасибо!