Question

Решите уравнение $sin ^{2} frac{x}{2} -cos ^{2} frac{x}{2} =cos2x$
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[- frac{ pi }{2}; pi )$

Answer 1

$sin ^{2} frac{x}{2} -cos ^{2} frac{x}{2} =cos2x \ -(cos ^{2} frac{x}{2} -sin ^{2} frac{x}{2})=cos2x \ -cos (2cdot frac{x}{2} )=cos2x \ -cos x=2cos^2x-1 \ 2cos^2x+cos x-1=0 \ D=1^2-4cdot2cdot*=(-1)=1+8=9 \ cos x= frac{-1-3}{4} =-1; x= pi +2 pi n, nin Z \ cos x= frac{-1+3}{4} = frac{1}{2} ; x=pm frac{ pi }{3} +2 pi n, nin Z$

Рассматриваем первую серию корней:
$- frac{ pi }{2} leq pi +2 pi n textless pi \ - frac{ 1 }{2} leq 1+2 n textless 1 \ - frac{ 3 }{2} leq 2 n textless 0 \ - frac{ 3 }{4} leq n textless 0$
Целых чисел, удовлетворяющих этому неравенству нет, значит и корней в этой серии на заданном промежутке нет.
Рассматриваем вторую серию корней:
$- frac{ pi }{2} leq frac{ pi }{3} +2 pi n textless pi \ - frac{ 1}{2} leq frac{1}{3} +2 n textless 1 \ - frac{ 1}{2} -frac{1}{3} leq 2 n textless 1-frac{1}{3} \ - frac{ 3}{6} -frac{2}{6} leq 2 n textless frac{2}{3} \ -frac{5}{6} leq 2 n textless frac{2}{3} \ -frac{5}{12} leq n textless frac{1}{3} \ n=0: x_1=frac{ pi }{3} +2 pi cdot 0=frac{ pi }{3}$
Рассматриваем третью серию корней:
$- frac{ pi }{2} leq -frac{ pi }{3} +2 pi n textless pi \ - frac{ 1}{2} leq - frac{1}{3} +2 n textless 1 \ - frac{ 1}{2} +frac{1}{3} leq 2 n textless 1+frac{1}{3} \ - frac{ 3}{6} +frac{2}{6} leq 2 n textless frac{4}{3} \ -frac{1}{6} leq 2 n textless frac{4}{3} \ -frac{1}{12} leq n textless frac{2}{3} \ n=0: x_2=-frac{ pi }{3} +2 pi cdot 0=-frac{ pi }{3}$
Ответ: -п/3; п/3

Answer 2

спасибо