Question

СРОЧНОООО!!!! ПРОШУУУУ!!!!
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC биссектриса BL=10, а высота AD=5. Найдите уголABD (в градусах).

Answer 1

Поскольку в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, будет медианой и биссектрисой, то $angle BAD=angle DAC$. Тогда обозначив $angle BAD=alpha$, получим $angle BAL=2alpha$
$angle ABD=90^circ-alpha;, angle ABL=45^circ-frac{alpha}{2};,angle ALB=135^circ-frac{3alpha}{2}$ .
Поскольку $triangle BAD$ - прямоугольный, то (по известному соотношению) $AB= frac{AD}{sin (90^circ -alpha)} =frac{5}{cosalpha}$
С другой стороны, по теореме синусов в $triangle ABL$
$frac{BL}{sin angle BAL} = frac{AB}{sin angle ALB} rightarrowfrac{BL}{sin 2alpha} = frac{AB}{sin (135^circ-frac{3alpha}{2})} ;$
откуда получаем $AB= frac{10sin(135^circ- frac{3alpha}{2}) }{sin 2alpha}$
Приравнивая правые части выражений для AB, получаем
$frac{5}{cosalpha} =frac{10sin(135^circ- frac{3alpha}{2}) }{sin 2alpha}rightarrow frac{1}{cosalpha} =frac{2sin(135^circ- frac{3alpha}{2}) }{2sin alphacos alpha}rightarrowsin(135^circ- frac{3alpha}{2})=sinalpha$
и $135^circ- frac{3alpha}{2}=alpha;, frac{5}{2} alpha =135^circ;, alpha =54^circ.$
Поэтому,
$angle ABD=90^circ-54^circ=36^circ$