Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции
1) f(x)=sinx+cosx на отрезкк [п;3п/2]
2)f(x)=sinx+cosx на отрезке [0;п/2]

Answer 1

$1); ; f(x)=sinx+cosx=sinx+sin(frac{pi}{2}-x)=\\=2sinfrac{pi}{4}cdot cos(x-frac{pi}{4})=sqrt2cdot cos(x-frac{pi}{4})\\f'(x)=-sqrt2cdot sin(x-frac{pi}{4})=0\\x-frac{pi}{4}=pi n; ,; nin Z\\x=frac{pi}{4}+pi n; ,; nin Z\\xin [, pi ,frac{3pi }{2}, ]; ,f(pi )=sqrt2cosfrac{3pi}{4}=sqrt2cdot (-frac{sqrt2}{2})=-1\\f(frac{3pi }{2})=sqrt2cosfrac{5pi }{4}=sqrt2cdot (-frac{sqrt2}{2})=-1$

  $n=1,; x=frac{pi}{4}+pi =frac{5pi}{4}$ $in [, pi ,frac{3pi }{2}, ]$  

$f(frac{5pi}{4})=sqrt2cospi =sqrt2(-1)=-sqrt2$


Наименьшее значение f(x)=-√2 , наибольшее значение  f(x)=-1 .

$2); ; xin [, 0,frac{pi }{2}, ],; f(0)=sqrt2cos(-frac{pi}{4})=sqrt2cdot frac{sqrt2}{2}=1\\f(frac{pi }{2})=sqrt2cdot cosfrac{pi}{4}=sqrt2cdot frac{sqrt2}{2}=1\\n=0,; x=frac{pi}{4}in [, 0,frac{pi}{2}, ]; ,; f(frac{pi}{4})=sqrt2cdot cos, 0=sqrt2cdot 1=sqrt2$

Наибольшее значение функции $f(x)=sqrt2$ , наименьшее f(x)=1.

Answer 2

Спасибо большое !)