Question

отдам 50 баллов за ПРАВИЛЬНОЕ решение

Answer 1

Этот предел с неопределенностью типа ${1^infty}$. Его можно вычислить, приведя ко второму замечательному пределу. Можно также использовать логарифмирование, правило Лопиталя и первый замечательный предел. Это и было сделано ниже. 

$=e^lim_{xto 0} frac{lnleft(frac{1+sin xcos alpha x}{1+sin xcos alpha x}right)}{{rm tg}^3x}}=$
$=e^{lim_{xto 0} frac{(1+sin xcos beta x)(cos xcosalpha x- alpha sin xsin alpha x)-(1+sin xcos alpha x)(cos xcos beta x- beta sin xsin beta x)}{(1+sin xcos alpha x)(1+sin xcos beta x)cdot3frac{sin^2 x}{cos^4 x}}}=$
$=e^{lim_{xto 0}frac{(1+x)(1- alpha ^2 x^2)-(1+x)(1- beta ^2 x^2)}{3x^2(1+x)^2)}}=e^{lim_{xto 0}frac{x^2(beta ^2- alpha ^2)}{3x^2(1+x))}}=e^{frac{1}{3}(beta ^2- alpha ^2)}$