Question

В треугольнике ABC окружность, вписанная в треугольник, касается средней линии, параллельной ВС. Докажите, что AC + AB = 3BC.

Answer 1

По свойству средней линии треугольника: 
$MN= frac{BC}{2}$
Далее рассмотрим четырехугольник BMNC:
Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Получаем: $BM+NC=MN+BC$

Т.к. MN- средняя линия, то: AB=BM+MA=2BM и AC=AN+NC=2NC
Запишем:
AC+AB=2BM+2NC=2(BM+NC)=2(MN+BC)=2($frac{BC}{2}$+BC)= 2*$frac{3BC}{2}$ = 3BC
ч.т.д