Question

Докажите, что значения выражения является целым числом
1)$sqrt{81+ 8sqrt{5} }-4 sqrt{5}$
2)$sqrt{16-8 sqrt{3} }+2 sqrt{3}$

Answer 1

1)
$sqrt{81+8 sqrt{5} }-4 sqrt{5}= sqrt{(1+4 sqrt{5} )^2}-4 sqrt{5}= \ \ =|1+4 sqrt{5} |-4 sqrt{5} =1+4 sqrt{5}-4 sqrt{5}=1$ - целое число.

2)
$sqrt{16-8 sqrt{3} }+2 sqrt{3} = sqrt{4(4-2 sqrt{3} )}+2 sqrt{3}= \ \ =2 sqrt{4-2 sqrt{3} }+2 sqrt{3}=2 sqrt{(1- sqrt{3} )^2} +2 sqrt{3} = \ \ =2*|1- sqrt{3} |+2 sqrt{3} =2*(-(1- sqrt{3} ))+2 sqrt{3}= \ \ =-2(1- sqrt{3} )+2 sqrt{3}=-2+2 sqrt{3}+2 sqrt{3}=4 sqrt{3}-2$ - это не целое число