Question

Вычислите производные следующих функций. В каждом случае указать правила

Answer 1

$y(x) = 3 x^{2} + frac{2}{x} -1$
Правило: $( x^{n})' = nx^{n-1}$
$y' = 6x- frac{2}{x^{2}}$

y(x) =√x·(√x-2) = x - 2√x
Правило: $(sqrt{x})' = frac{1}{2 sqrt{x} }$
$y'(x) = 1-frac{1}{ sqrt{x}}$

y(x) = $frac{ x^{2} -1}{x^{3} +x}$
Правило: $( frac{u}{v} )'= frac{u'*v-u*v'}{v^{2} }$
$y'(x) = frac{2x*( x^{3}+x)-( x^{2} -1)(3 x^{2} +1) }{ (x^{3}+x)^{2} } = frac{2x^{4}+2x^{2} -3x^{4}-x^{2} +3x^{2}+1 }{ (x^{3}+x)^{2} }=frac{-x^{4}+4x^{2}+1 }{ (x^{3}+x)^{2} }$
 
y(x) = $frac{1}{(3x+1)^{3}} =(3x+1)^{-3}$
Правило: $g'[f(x)] = g'_{f}*f'_{x}$
y'(x) = -3·(3x+1)⁻⁴·3 = $-frac{9}{(3x+1)^{4} }$

y(x)=$frac{x+1}{2 sqrt{x} }$, x₀ = 4
Правило: $( frac{u}{v} )'= frac{u'*v-u*v'}{v^{2} }$
$y'(x) = frac{2 sqrt{x} -(x+1) frac{1}{ sqrt{x}} }{4x} = frac{2x-x-1}{4x sqrt{x} }=frac{x-1}{4x sqrt{x} }$
$y'(x_{0}) = y'(4) = frac{4-1}{4*4* sqrt{4} } = frac{3}{32}$

$y(x) = sqrt{1+ frac{1}{x} }, x_{0} =1$
Правило: $g'[f(x)] = g'_{f}*f'_{x}$
$y'(x)= frac{-frac{1}{ x^{2}} }{2 sqrt{1+ frac{1}{x} } } =- frac{1}{2 x^{2}*sqrt{1+ frac{1}{x} } }$
$y'(x_{0})=y'(1)==- frac{1}{2*1^{2}*sqrt{1+ frac{1}{1} } } =- frac{1}{2 sqrt{2} }$