Question

Вычислить два предела (с подробным решением ,пожалуйста):

$\lim_{x \to+ \infty} \frac{9x-1}{ \sqrt{11x+16 x^{2} } }$

$\lim_{x \to 0} \frac{ e^{8x} -1}{ sin5x }$

Answer 1

1) Делим числитель и знаменатель на х. То есть числитель просто на х, а знаменатель под корнем на x^2.
$\lim_{x \to \infty} \frac{9x-1}{ \sqrt{16x^2+11x} }= \lim_{x \to \infty} \frac{9-1/x}{ \sqrt{16+11/x} }$
При x -> oo дроби 1/x и 11/x стремятся к 0. Остается 9/√16 = 9/4

2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{8x}-1}{sin(5x)}$
1 Замечательный предел: $\lim_{z \to 0} \frac{sin(z)}{z}=1$
Следствие из 2 Замечательного предела: $\lim_{z \to 0} \frac{e^z-1}{z} =1$
Исходя из этого, получаем
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{8x}-1}{sin(5x)} =\lim_{x \to 0} (\frac{e^{8x}-1}{8x}: \frac{sin(5x)}{5x}* \frac{8x}{5x} )=1*1* \frac{8}{5} = \frac{8}{5}$