Question

Найти пределы функций:

1) $\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{ \frac{3x+8 x^{2} -1}{27 x^{2} +10} }$
2) $\lim_{x \to \00} \frac{3 x^{2} }{1-cos8x}$
3) $\lim_{x \to \infty} ( \frac{x+2}{x-5} ) ^{8x}$

Answer 1

1) $\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{ \frac{3x+8 x^{2} -1}{27 x^{2} +10} }$

По свойству пределов, мы можем вынести корень кубический за предел и возвести в него уже результат, получаем:
$\sqrt[3]{\lim_{x \to \infty} \frac{3x+8 x^{2} -1}{27 x^{2} +10} }$

Внутри у нас получилась неопределенность вида $\frac{ \infty}{ \infty}$, значение которой равно отношению коэффициентов перед аргументами со старшими степенями (где у нас х в квадрате), таким образом ответ:
$\sqrt[3]{ \frac{8}{27} } = \frac{2}{3}$

2) $\lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} }{1-cos8x}$

Получилась неопределенность вида $\frac{0}{0}$, значит мы можем найти значение предела по теореме Лопиталя (взять производные от числителя и знаменателя):
$\frac{(3 x^{2})' }{(1-cos8x)'} = \frac{6x}{-8sin8x}$ 

Таким образом переходим к пределу:
$\lim_{x \to 0} \frac{6x}{-8sin8x} =0$

3) $\lim_{x \to \infty} ( \frac{x+2}{x-5} )^{8x} = e^{56}$