Question

Вася выписал числа: 1^1, 2^2, 3^3, ..., 100^100. Сколько среди них квадратов?

Answer 1

Выписанные Васей числа - это последовательность a^n, где а и n - числа натурального ряда от 1 до 100, причем а = n.
  $a^{n}$
Откуда здесь квадраты:
1) от показателя степени.
 а^n = a^(2n/2) = [a^(n/2)]^2 или картинка в редакторе формул:
$(a^{n/2}) ^{2}$
Видно, что таких квадратов n/2, т.е. все четные степени от 1 до 100, а их:
100 : 2 = 50 ----- число четных степеней.
2)  от основания степени. Среди нечетных чисел с нечетными степенями имеются КВАДРАТЫ, так как их основания представляют собой квадраты.
В ряду оснований степеней от 1 до 100 основания, дающие искомые квадраты, нужно искать среди чисел  от 1 до 10, т.к.  10^10 = 100, а 100 - это наибольшее основание по условию.
причем четные степени нами уже сосчитаны. От 1 до 10 половина чисел - нечетные!:   
10 : 2 = 5  ---- число квадратов - оснований ( 1 мы тоже считаем, так как 1^2 =1)
3)  50 + 5 = 55 ----- общее количество квадратов.
Ответ: среди чисел 1^1,  2^2,  3^3, ... ,  100^100 всего 55 квадратов.