Question

Здравствуйте,дорогие участники сайта "знания.com". У меня появилась проблема с задачей. Условие: Мы имеем неизвестное число,которое состоит из шести цифр. Если из этого числа вычесть 533565,то получится число,цифры которого расположены в обратном порядке неизвестного числа. Сумма цифр неизвестного числа делится на 3. разность неизвестного и известного является датой. Нужно найти неизвестное число

Answer 1

У нас в итоге будет два числа: неизвестное (которое или которые станет/станут известным/и) и второе – разность изначально неизвестного и известного $533 565 ,$ которая должна выражать дату (в каком-то неизвестном представлении).

Обозначим второе число (дата), как $x_5 x_4 x_3 x_2 x_1 x_o ,$
тогда неизвестное число должно выглядеть, как: $x_o x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 ,$
и должно выполняться равенство: $x_o x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 - 533 565 = x_5 x_4 x_3 x_2 x_1 x_o ,$
или, иначе говоря: $x_5 x_4 x_3 x_2 x_1 x_o + 533 565 = x_o x_1 x_2 x_3 x_4 x_5$ ;

Запишем это в столбик:

$. x_5 x_4 x_3 x_2 x_1 x_o \ + 5 3 3 5 6 5 \ = x_o x_1 x_2 x_3 x_4 x_5$


Все цифровые разряды будем, как это и принято, нумеровать от нуля до пяти, тогда номер разряда будет соответствовать индексу искомой цифры в разностном числе. Из столбика видно, что:

$left{begin{array}{l} x_2 + 5 + e_1 - 10 e_2 = x_3 , \ x_3 + 3 + e_2 - 10 e_3 = x_2 ; end{array}right$

где: $e_1$ – возможная добавочная единица, уходящая из первого
и приходящая во второй разряд: $e_1 in { 0 , 1 } ,$

$e_2$ – возможная добавочная единица, уходящая из второго
и приходящая в третий разряд: $e_2 in { 0 , 1 } ,$

$e_3$ – возможная добавочная единица,
уходящая из третьего разряда в четвёртый: $e_3 in { 0 , 1 } ,$


После сложения уравнений системы, получаем:

$8 + e_1 - 9 e_2 - 10 e_3 = 0$ ;

Это возможно, только если $e_2 = e_1 = 1$ и при $e_3 = 0$ ;


Отсюда следует, что: оба средних разряда при суммировании должны получать из предыдущего разряда добавочную единицу, причём второй разряд должен переполняться и иметь вычет десятки, а третий НЕ должен переполняться и не иметь вычета.

Тогда получим 6 возможных вариантов разностного числа:
$x_5 x_4 0 4 x_1 x_o , \ x_5 x_4 1 5 x_1 x_o , \ x_5 x_4 2 6 x_1 x_o , \ x_5 x_4 3 7 x_1 x_o , \ x_5 x_4 4 8 x_1 x_o , \ x_5 x_4 5 9 x_1 x_o .$

Пятый разряд неизвестного числа должен быть больше пятого разряда разностного числа (верхней даты), а это значит, что нулевой разряд разного числа (верхней даты) должен быть больше неизвестного, стало быть, нулевой разряд при суммировании переполняется и даёт дополнительную единицу в первый разряд, а $x_0 geq 6 ,$ поскольку $x_5 neq 0 ,$ так как с этой цифры начинается разностное число.

Для того, чтобы второй разряд получал добавочную единицу, нужно чтобы первый разряд при суммировании переполнялся, что возможно только когда $x_1 geq 3 ,$ поскольку в первом разряде уже есть шестёрка и добавочная единица, получаемая из нулевого разряда.

Значит, две последних цифры разностного числа (верхней даты) могут быть только годом, поскольку $x_1 x_o geq 36$ .

Стало быть, дни месяца и месяц
расположены в разрядах: $x_5 x_4 x_3 x_2$ .

Тогда остаётся три варианта разностного числа: $x_5 x_4 04 x_1 x_o , x_5 x_4 15 x_1 x_o , x_5 x_4 26 x_1 x_o .$


$left{begin{array}{l} x_5 = x_o + 5 - 10 = x_o - 5 leq 4 , \ x_4 = x_1 + 6 + 1 - 10 = x_1 - 3 leq 6 ; end{array}right$

отсюда:

$left{begin{array}{l} x_o = x_5 + 5 , \ x_1 = x_4 + 3 ; end{array}right$


------------------

Рассмотрим первый вариант: $x_5 x_4 0 4 x_1 x_o ,$
здесь $0 4$ может играть роль апреля.


Сказано, что сумма всех цифр должна быть кратна трём, тогда:

$x_5 + x_4 + x_3 + x_2 + x_1 + x_o = x_5 + x_4 + 0 + 4 + x_4 + 3 + x_5 + 5 = \\ = 2 ( x_5 + x_4 + 6 ) = 3 n ;$

$x_5 + x_4 = 3 m$ ;


Возможны только случаи:

$1 + 2 = 3 m$ ;

$1 + 5 = 3 m$ ;

$2 + 1 = 3 m$ ;

$2 + 4 = 3 m$ ;

$3 + 0 = 3 m$ ;

Учитывая, что:

$left{begin{array}{l} x_o = x_5 + 5 , \ x_1 = x_4 + 3 ; end{array}right$

получаем разностные числа:

$120456$ – дата 12/04/56 г.
$150486$ – дата 15/04/86 г.
$210447$ – дата 21/04/47 г.
$240477$ – дата 24/04/77 г.
$300438$ – дата 24/04/38 г.


------------------

Рассмотрим второй вариант: $x_5 x_4 1 5 x_1 x_o ,$
здесь $15$ может играть только роль числа месяца (дня).


Сказано, что сумма всех цифр должна быть кратна трём, тогда:

$x_5 + x_4 + x_3 + x_2 + x_1 + x_o = x_5 + x_4 + 1 + 5 + x_4 + 3 + x_5 + 5 = \\ = 2 ( x_5 + x_4 + 7 ) = 3 n ;$

$x_5 + x_4 + 1 = 3 m$ ;

$x_5 + x_4 = 3 m + 2$ ;


Возможен только один случай:

$1 + 1 = 3 m + 2$ ;


Учитывая, что:

$left{begin{array}{l} x_o = x_5 + 5 , \ x_1 = x_4 + 3 ; end{array}right$

получаем разностное число:

$111546$ – дата 11/15/46 г.


продолжение >>>