Question

Большее  основание  равнобедренной  трапеции  равно 16,  а  радиус  вписанной  в  нее окружности равен 4.  Найдите среднюю линию трапеции.

Answer 1

Опустим из вершин меньшего (верхнего) основания перпендикуляры (по факту высоты) на большее основание. Они будут равны диаметру вписанной окружности D=2r=2*4=8. Тогда они образуют с боковыми сторонами прямоугольные треугольники. Тогда катеты обоих этих треугольников, лежащие на основании (т. е. проекции боковых сторон на основание) по теореме Пифагора будут равны √(x²-64). Тогда меньшее основание будет равно 16-2* √(x²-64). Зная, что по свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон данной трапеции равны, составим и решим уравнение:

2x=16+(16-2* √(x²-64))

2x=32-2* √(x²-64)                                сократим на 2

x=16-√(x²-64)                      

√(x²-64)=16-x                                     возведем обе части в квадрат и получим

x²-64=256-32x+x²                             x² взаимно сокращаются

-64=256-32x

32x=256+62=320

x=320/32=10 - длина боковой стороны

Тогда все по тому же свойству сумма оснований равна сумме боковых сторн, т. е. 10+10=20. Длина же средней линии будет равна половине суммы оснований (по теореме о средней линии), т. е. 20/2=10

Ответ: 10