Question

Найти значение:

Cos( 1/2 ArcCos 3/5- 2*ArcCtg (-2))= ?

Answer 1

arccos3/5=a,a-1 четверть
arcctg(-2)=b,b-2 четверть
сos(a/2-2b)=cos(a/2)cos(2b)+sin(a/2)sin2b)
cos²(a/2)=(1+cosa)/2=(1+3/5)/2=8/10=4/5
cos(a/2)=2/√5
cos(2b)=2cos²b-1
ctgb=-2⇒tgb=-1/2
cos²b=1:(1+tg²b)=1:(1+1/4)=1:5/4=4/5
cosb=-2/√5
cos2b=8/5-1=3/5
sin²(a/2)=)1-cosa)/2=(1-3/5)/2=2/10=1/5
sin(a/2)=1/√5
sin2b=2sinbcosb=2√(1-cos²b)*cosb=2*√(1-4/5)*(-2/√5)=
=2*1/√5*(-2/√5)=-4/5
cos(a/2-2b)=2/√5*3/5-4/5√5=6/5√5-4/5√5=2/5√5=2/5√5=2√5/25

Answer 2

Функция арккотангенса даёт значения в интервал $E(arcctg(x)) \equiv ( 0 ; \pi ) ,$ причём во второй четверти $ctg(x)$ – отрицателен, поэтому от отрицательных аргументов функция арккотангенса даёт значения в интервал $( \frac{ \pi }{2} ; \pi ) .$

Итак: $arcctg(-2) \in ( \frac{ \pi }{2} ; \pi )$ и $2 arcctg(-2) \in ( \pi ; 2 \pi )$


Поскольку: $\cos^2{x} + \sin^2{x} = 1 \ \ || : \cos^2{x}$

$1 + \frac{1}{ ctg^2{x} } = \frac{1}{ \cos^2{x} }$ ;

то: $\cos^2{x} = \frac{1}{ 1 + 1/ctg^2{x} }$ ;


В нашем случае:

$\cos^2{ arcctg(-2) } = \frac{1}{ 1 + 1/ctg^2{ arcctg(-2) } } = \frac{1}{ 1 + 1/(-2)^2 } = \frac{1}{ 1 + 1/4 } = \frac{1}{ 5/4 } = \frac{4}{5}$ ;

$\cos{ ( 2 arcctg(-2) ) } = 2 \cos^2{ arcctg(-2) } - 1 = 2 \cdot \frac{4}{5} - 1 = \frac{8}{5} - 1 = \frac{3}{5}$ ;

Причём с учётом знака косинуса, ясно, что: $2 arcctg(-2) \in ( \frac{3}{4} \pi ; 2 \pi ) ,$

Тогда: $2 arcctg(-2) = 2 \pi - \arccos{ \frac{3}{5} }$ ;


Учитывая, что:

$| \cos{ \frac{x}{2} } | = \sqrt{ \frac{ 1 + \cos{x} }{2} }$

и что: $| \sin{ \frac{x}{2} } | = \sqrt{ \frac{ 1 - \cos{x} }{2} }$

и что: $\arccos{ \frac{3}{5} } \in ( 0 ; \frac{\pi}{2} ) ,$ из исходного получаем, что:

$\cos{ ( \frac{1}{2} \arccos{ \frac{3}{5} } - 2 arcctg(-2) ) } = \cos{ ( \frac{1}{2} \arccos{ \frac{3}{5} } - 2 \pi + \arccos{ \frac{3}{5} } ) } =$

$= \cos{ ( \frac{1}{2} \arccos{ \frac{3}{5} } + \arccos{ \frac{3}{5} } ) } =$

$= \cos{ ( \frac{1}{2} \arccos{ \frac{3}{5} } ) } \cdot \cos{ \arccos{ \frac{3}{5} } } - \sin{ ( \frac{1}{2} \arccos{ \frac{3}{5} } ) } \cdot \sin{ \arccos{ \frac{3}{5} } } =$

$= \frac{3}{5} \cos{ ( \frac{1}{2} \arccos{ \frac{3}{5} } ) } - \frac{4}{5} \sin{ ( \frac{1}{2} \arccos{ \frac{3}{5} } ) } =$

$= \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{ \sqrt{5}} - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{ \sqrt{5} } = \frac{6}{ 5\sqrt{5} } - \frac{4}{ 5 \sqrt{5} } = \frac{2}{ 5\sqrt{5} } = \frac{ 2\sqrt{5} }{25}$ ;


О т в е т : $\frac{ 2\sqrt{5} }{25} .$