Question

В геометрической прогрессии сумма первого и треть­его членов равна 10, а сумма второго и четвертого членов равна – 5. Найдите сумму геометрической прогрессии

Answer 1

$begin{cases} b_1+b_3=10\ b_2+b_4=-5 end{cases}\ b_2=b_1cdot q\ b_3=b_1cdot q^2\ b_4=b_1cdot q^3\ begin{cases} b_1+b_1cdot q^2=10\ b_1cdot q+b_1cdot q^3=-5 end{cases}Rightarrow begin{cases} b_1=frac{10}{1+q^2}\ frac{10q}{1+q^2}+frac{10q^3}{1+q^2}=-5 end{cases}\ frac{10q}{1+q^2}+frac{10q^3}{1+q^2}=-5\ 10q+10q^3=-5(1+q^2)\ 10q^3+5q^2+10q+5=0quaddiv5\ 2q^3+q^2+2q+1=0\ q^2(2q+1)+(2q+1)=0\ (q^2+1)(2q+1)=0\ q^2+1=0\ q^2=-1;-;pew.HET\ 2q+1=0\ 2q=-1\ q=-frac12=-0,5$

$begin{cases} b_1=8\q=-0,5end{cases}$

Прогрессия бесконечно убывает, поэтому её сумма

$S=frac{b_1}{1-q}=frac{8}{1-(-0,5)}=frac{8}{1,5}=frac{80}{15}=5frac5{15}=5frac13$