найдите числа представляющие собой кубы натуральных чисел и имеющие вид 13р+1, где р простое число
Ответы
Ответ дал:
0
Обозначим искомое число как
, по условию
. Перенесём единицу в левую часть и разложим разность кубов на множители:
![(n-1)(n^2+n+1)=13p (n-1)(n^2+n+1)=13p](https://tex.z-dn.net/?f=%28n-1%29%28n%5E2%2Bn%2B1%29%3D13p)
Понятно, что
, тогда обе скобки-сомножителя - натуральные числа, большие 1. С другой стороны, произведение
представляется в виде двух натуральных сомножителей, больших единицы, единственным (с точностью до перестановок) способом:
. Поэтому
,
равны либо
и
, либо
и
.
Случай 1.![begin{cases}n-1=13\n^2+n+1=pend{cases} begin{cases}n-1=13\n^2+n+1=pend{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=begin%7Bcases%7Dn-1%3D13%5Cn%5E2%2Bn%2B1%3Dpend%7Bcases%7D)
Из первого уравнения следует, что
, тогда после подстановки во второе уравнение находим
.
- действительно простое число, так что
нас устраивает.
Случай 2.![begin{cases}n-1=p\n^2+n+1=13end{cases} begin{cases}n-1=p\n^2+n+1=13end{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=begin%7Bcases%7Dn-1%3Dp%5Cn%5E2%2Bn%2B1%3D13end%7Bcases%7D)
Тут всё немного сложнее: уравнение на
квадратное, а не линейное, как в первом случае. Упростив, получаем уравнение
, у которого только один натуральный корень
.
Подставляем в первое равенство:
- простое число, так что и тут нас всё устраивает.
Ответ.
, ![3^3=27 3^3=27](https://tex.z-dn.net/?f=3%5E3%3D27)
Понятно, что
Случай 1.
Из первого уравнения следует, что
Случай 2.
Тут всё немного сложнее: уравнение на
Подставляем в первое равенство:
Ответ.
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
8 лет назад
8 лет назад
9 лет назад