Question

Высота правильного треугольника равна h. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.
б) сторона правильного пятиугольника равна a. найдите радиусы вписанной и описанной окружностей;
в) сторона правильного шестиугольника равна a. найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.

Answer 1

а) В правильном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей - точка пересечения медиан (биссектрис, высот, так как они совпадают).

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. При этом больший отрезок высоты является радиусом описанной окружности, а меньший - вписанной.

r = h/3

R = 2h/3

б) Формулы, связывающие сторону правильного многоугольника с радиусами вписанной и описанной окружностей:

a(n) = 2r · tg(180°/n)

a(n) = 2R · sin(180°/n)

где a(n) - сторона правильного многоугольника, n - количество его сторон.

$r = frac{a_{n}}{2tgfrac{180^{o}}{n}}$

$R = frac{a_{n}}{2sinfrac{180^{o}}{n}}$

n = 5

r = a / (2tg36°)

R = a / (2sin36°)

в) n = 6

r = a / (2tg30°) = a√3/2

R = a / (2 sin30°) = a /(2 · 1/2) = a