Question

Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходиться

Answer 1

$intlimits_0^{infty}frac{dx}{x^2(x+2)}=limlimits_{begin{smallmatrix}varepsilonto +0 \a to +inftyend{smallmatrix}} intlimits_varepsilon^{a}frac{dx}{x^2(x+2)}=limlimits_{begin{smallmatrix}varepsilonto +0 \a to +inftyend{smallmatrix}} intlimits_varepsilon^{a}left(frac{1}{2x^2}-frac{1}{4x}+frac{1}{4(x+2)}right),dx=$
$=limlimits_{begin{smallmatrix}varepsilonto +0 \a to +inftyend{smallmatrix}} left.left(-frac{1}{2x}-frac{1}{4}ln|x|+frac{1}{4}ln|x+2|right)right|_{varepsilon}^a=$
$=limlimits_{begin{smallmatrix}varepsilonto +0 \a to +inftyend{smallmatrix}} left.left(frac{1}{4}ln|frac{x+2}{x}|-frac{1}{2x}right)right|_{varepsilon}^a=limlimits_{begin{smallmatrix}varepsilonto +0 \a to +inftyend{smallmatrix}} left(frac{1}{4}ln|frac{(varepsilon+2)a}{varepsilon(a+2)}|-frac{a-varepsilon}{2avarepsilon}right).$
данный предел может также быть равен бесконечности, то и интеграл будет расходящийся.