Question

Помогите с логарифмами пожалуйста:)

Answer 1

1)
$log_{ frac{1}{4}-3x }(1-25x^2) textgreater 0$

Рассматриваем два варианта:
1 вариант:

ОДЗ:
а) 1-25x²>0
-25(x²-1/25)>0
x² - 1/25 <0
(x- 1/5)(x+1/5) <0
(x-0.2)(x+0.2)<0
      +                  -                    +
-------- -0.2 ------------ 0.2 -------------
                  \\\\\\\
x∈(-0.2; 0.2)

b) 0< 1/4 - 3x < 1
-1/4 < -3x < 1- 1/4
-1/4 < -3x < 3/4
1/12> x > - 1/4
-1/4 < x < 1/12
-0.25 < x < 0.08(3)

В итоге ОДЗ: x∈(-0.2; 1/12)

Решение неравенства:
1-25x² < (1/4 - 3x)⁰
1-25x² < 1
-25x² < 1-1
-25x² < 0
x² > 0
x - любое число.
В результате х ∈ (-0,2; 1/12).

2 вариант:
ОДЗ: 
а) х∈(-0,2;  0,2)
b) 1/4 -3x>1
    -3x> 1 - 1/4
    -3x> 3/4
       x< -1/4
       x< -0.25 - не входит в промежуток (-0,2; 0,2).
Неравенство не имеет решений.

Ответ: (-0,2;  1/12).


2)
$log_{x+2}(2x^2+x) leq 2$

1 вариант:
ОДЗ:
а) 2x²+x>0
    2x(x+1/2)>0
     x(x+1/2)>0
x=0       x= -0.5
     +                      -                    +
---------- -0.5 -------------- 0 -------------
\\\\\                                \\\\\\\
x∈(-∞; -0.5)U(0; +∞)

b)   0<x+2<1
      -2<x< -1

В итоге ОДЗ: х∈(-2;  -0,5)

Решение неравенства:
2x²+x≥(x+2)²
2x²+x≥x²+4x+4
2x²-x²+x-4x-4≥0
x²-3x-4≥0
D=9+16=25
x₁=(3-5)/2= -1
x₂=(3+5)/2=4
    +                     -                    +
---------- -1----------------4-------------
\\\\\                            \\\\\\\
x∈(-∞; -1]U[4; +∞)

С учетом ОДЗ получаем:
x∈(-2; -0.5)

2 вариант:
ОДЗ:
а)   2x²+x>0
      x∈(-∞; -0.5)U(0; +∞)

b)   x+2>1
      x> -1
В итоге ОДЗ:  x∈(-1; -0.5)U(0; +∞)

Решение неравенства:
2x²+x≤(x+2)²
x² -3x-4≤0
     +                    -                     +
----------- -1 ----------------- 4 -------------
                    \\\\\\\\\
x∈[-1; 4]
С учетом ОДЗ получаем:  x∈(-1; -0.5)U(0; 4]

Объединяя два варианта, получаем:
x∈(-2; -0.5)U(0; 4]

Ответ: (-2;  -0.5)U(0;  4]