Question

Помогите, пожалуйста, разобраться с примером из пробного ЕГЭ - математика, профильный уровень!!
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее
арифметическое этих чисел равно ! 3, среднее арифметическое всех
положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных
из них равно ! 8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Answer 1

x- положительных, у - отрицательных, z - нулей
33 <=x+y+z <= 47
S1 - сумма положительных, S2 - сумма отрицательных.
S1+S2=5(x+y+z)
S1=16x
S2=-8y

16x-8y=5(x+y+z)

а) Так как правая часть делится на 8, то и левая тоже.
Так как 5 и 8 взаимно простые, то x+y+z делится на 8.
Так как 33 <=x+y+z <= 47, то x+y+z=40.
Всего чисел 40

б) 16x-8y=5(x+y+z), 16x-8y=5*40, 2x-y =25, y=2x -25.
Если y >= x, то 2x-25 >= x, x >=25, y >=25, x+y >= 50, но x+y+z =40. Противоречие, значит, y < x.
Положительных больше

в) Не дописано условие. Наибольшее количество каких чисел нужно найти?

Найдём наибольшее количество положительных
2x=y+25, y=2x-25
x+y+z=40, 3x-25+z=40, 3x <=65, x- целое, x <=21
Если x=21, то y=42-25=17, z=2
Наибольшее количество положительных равно 21,
если в наборе
21 положительных, каждое равно16,
17 отрицательных, каждое равно (-8)
2 нуля.

Так как 2x=y+25,
то наибольшему количеству положительных соответствует и наибольшее количество отрицательных.
Наибольшее количество отрицательных равно 17