Question

Задача на геометрическую прогрессию: Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго
треугольника построен третий и т.д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника.

Answer 1

Обозначения:
$a_i$ - сторона i-ого треугольника
$h_i$ - высота i-ого треугольника
$P_i$ - периметр i-ого треугольника

Перметр равностороннего треугольника определяется по формуле $P_i=3a_i$, значит если стороны заданных треугольников образую геометрическую прогрессию, то и их периметры также образуют геометрическую прогрессию.

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной $a_1=8sm$. Так как треугольник равносторонний, то все его высоты равны. Найдем длину одной из них. Высота является противолежащим катетом для угла равностороннего треугольника 60 градусов, гипотенузой в таком прямоугольном треугольнике является сторона равностороннего треугольника:
$sin 60^0= frac{h_1}{a_1} \ h_1=a_1sin60^0=a_1cdot frac{ sqrt{3} }{2}$
Так как высота треугольника есть длина стороны следующего треугольника, т.е. $h_1=a_2$, то:
$a_2=a_1cdot frac{ sqrt{3} }{2}$

Вывод: длина стороны следующего треугольника есть длина  стороны предыдущего треугольника, умноженная на множитель $frac{ sqrt{3} }{2}$ (для геометрической прогрессии он и будет являться знаменателем).
Рассуждая аналогично:
$a_3=h_2=a_2cdot frac{ sqrt{3} }{2} =a_1cdot frac{ sqrt{3} }{2}cdot frac{ sqrt{3} }{2}=a_1cdot (frac{ sqrt{3} }{2})^2 \ a_4=h_3=...=a_1cdot(frac{ sqrt{3} }{2})^3 \ ... \ a_n=h_{n-1}=a_1cdot(frac{ sqrt{3} }{2})^{n-1}$

Стороны образую геометрическую прогрессию, значит и их периметры также образуют геометрическую прогрессию:
$P_n=3a_n=3a_1cdot(frac{ sqrt{3} }{2})^{n-1}$
Можно подставить длину стороны исходного треугольника:
$P_n=3cdot8cdot(frac{ sqrt{3} }{2})^{n-1}$
$P_n=24cdot(frac{ sqrt{3} }{2})^{n-1}$ - общая формула n-ого члена

Для n=6:
$P_6=24cdot(frac{ sqrt{3} }{2})^{6-1}=24cdot(frac{ sqrt{3} }{2})^5=24cdotfrac{9 sqrt{3} }{32}=3cdotfrac{9 sqrt{3} }{4}=frac{27 sqrt{3} }{4}(sm)$

Answer 2

И МОДЕРАТОРЫ тоже могут отвечать?