Question

В треугольнике ACB (c вершиной С), угол ACB = 90 градусов, CD перпендикулярно AB. AB = 10 см, BD = 6,4 см. Найти CD, AC, BC.

Answer 1

Найдем AD10-6,4=3,6 
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на подобные треугольники. 
Из подобия  ∆ ABC и ∆ ADC следует отношение: 
АВ:АС=АС:AD ⇒ 
AC²=AB*AD=10*3,6=36 
AC=√36=6 
Из подобия ∆ ABC и ∆ ВDC следует отношение: 
АВ:ВС=ВС:BD ⇒ 
BC²=AB*BD=64 
BC=8 
Из подобия  ∆ BCD и ∆ ACD следует отношение: ВD:CD=CD:AD 
CD²=AB*CD=6,4*3,6=23,04 
CD=√23,04=4,8 
Отсюда следует свойство высоты, которое полезно запомнить: 
а) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. 
----
б) Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. 
-------
Тогда решение задачи можно записать короче: 
CD²=AB*CD=6,4*3,6=23,04 
CD=√23,04=4,8 см 
BC²=AB*BD=64 
BD=√64=8 см 
AC²=AB*AD=10*3,6=36 
AC=√36=6 см