Ответы
Ответ дал:
0
1. Область определения функции: ![x^2-1ne 0;,,,,, Rightarrow,, xne pm 1 x^2-1ne 0;,,,,, Rightarrow,, xne pm 1](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2-1ne+0%3B%2C%2C%2C%2C%2C+Rightarrow%2C%2C+xne+pm+1)
![D(f)=(-infty;-1)cup(-1;1)cup(1;+infty) D(f)=(-infty;-1)cup(-1;1)cup(1;+infty)](https://tex.z-dn.net/?f=D%28f%29%3D%28-infty%3B-1%29cup%28-1%3B1%29cup%281%3B%2Binfty%29)
2. Исследуем на четность.
![y(-x)= dfrac{(-x)^2}{(-x)^2-1} = dfrac{x^2}{x^2-1}=y(x) y(-x)= dfrac{(-x)^2}{(-x)^2-1} = dfrac{x^2}{x^2-1}=y(x)](https://tex.z-dn.net/?f=y%28-x%29%3D+dfrac%7B%28-x%29%5E2%7D%7B%28-x%29%5E2-1%7D+%3D+dfrac%7Bx%5E2%7D%7Bx%5E2-1%7D%3Dy%28x%29+)
Поскольку
, то эта функция четная.
3. Функция не периодическая.
4. Точки пересечения с осью Ох и Оу.
4.1. С осью Ох (если у=0)
![dfrac{x^2}{x^2-1} =0;,,,,,,Rightarrow,,,, x^2=0;,,,,,,,, Rightarrow,,,,, x=0 dfrac{x^2}{x^2-1} =0;,,,,,,Rightarrow,,,, x^2=0;,,,,,,,, Rightarrow,,,,, x=0](https://tex.z-dn.net/?f=+dfrac%7Bx%5E2%7D%7Bx%5E2-1%7D+%3D0%3B%2C%2C%2C%2C%2C%2CRightarrow%2C%2C%2C%2C+x%5E2%3D0%3B%2C%2C%2C%2C%2C%2C%2C%2C+Rightarrow%2C%2C%2C%2C%2C+x%3D0)
4.2. C осью Оу (если х = 0)
![y=0 y=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D0)
5. Точки экстремумы и монотонность функции:
![y'= dfrac{(x^2)'(x^2-1)-x^2(x^2-1)'}{(x^2-1)^2} =- dfrac{2x}{(x^2-1)^2} y'= dfrac{(x^2)'(x^2-1)-x^2(x^2-1)'}{(x^2-1)^2} =- dfrac{2x}{(x^2-1)^2}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D+dfrac%7B%28x%5E2%29%27%28x%5E2-1%29-x%5E2%28x%5E2-1%29%27%7D%7B%28x%5E2-1%29%5E2%7D+%3D-+dfrac%7B2x%7D%7B%28x%5E2-1%29%5E2%7D+)
Приравниваем производную функции к нулю:
![- dfrac{2x}{(x^2-1)^2}=0;,,,,,,, Rightarrow,,,,,, x=0 - dfrac{2x}{(x^2-1)^2}=0;,,,,,,, Rightarrow,,,,,, x=0](https://tex.z-dn.net/?f=-+dfrac%7B2x%7D%7B%28x%5E2-1%29%5E2%7D%3D0%3B%2C%2C%2C%2C%2C%2C%2C+Rightarrow%2C%2C%2C%2C%2C%2C+x%3D0)
__+___(-1)__+___(0)___-___(1)___-____
Функция возрастает на промежутке
и
, а убывает на промежутке
и ![xin (1;+infty) xin (1;+infty)](https://tex.z-dn.net/?f=xin+%281%3B%2Binfty%29)
В окрестности точки
производная функции меняет знак с (+) на (-), следовательно, точка
- точка максимума.
5. Точки перегиба.
Вычисляем вторую производную функции:
![bigg(- dfrac{2x}{(x^2-1)^2}bigg)'=- dfrac{(2x)'(x^2-1)^2-2x((x^2-1)^2)'}{(x^2-1)^4} =\ \ \ =- dfrac{2(x^2-1)^2-2xcdot 2(x^2-1)}{(x^2-1)^4} = dfrac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3} bigg(- dfrac{2x}{(x^2-1)^2}bigg)'=- dfrac{(2x)'(x^2-1)^2-2x((x^2-1)^2)'}{(x^2-1)^4} =\ \ \ =- dfrac{2(x^2-1)^2-2xcdot 2(x^2-1)}{(x^2-1)^4} = dfrac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}](https://tex.z-dn.net/?f=bigg%28-+dfrac%7B2x%7D%7B%28x%5E2-1%29%5E2%7Dbigg%29%27%3D-+dfrac%7B%282x%29%27%28x%5E2-1%29%5E2-2x%28%28x%5E2-1%29%5E2%29%27%7D%7B%28x%5E2-1%29%5E4%7D+%3D%5C+%5C+%5C+%3D-+dfrac%7B2%28x%5E2-1%29%5E2-2xcdot+2%28x%5E2-1%29%7D%7B%28x%5E2-1%29%5E4%7D+%3D+dfrac%7B2%283x%5E2%2B1%29%7D%7B%28x%5E2-1%29%5E3%7D+)
Приравниваем к нулю
![dfrac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3} =0\ \ 3x^2+1=0 dfrac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3} =0\ \ 3x^2+1=0](https://tex.z-dn.net/?f=+dfrac%7B2%283x%5E2%2B1%29%7D%7B%28x%5E2-1%29%5E3%7D+%3D0%5C+%5C+3x%5E2%2B1%3D0)
Уравнение решений не имеет, так как левая часть уравнения принимает только положительные значения.
___+____(-1)___-____(1)___+___
На промежутке
и
функция вогнута, а на промежутке
функция выпукла.
Вертикальные асимптоты:![x=pm1 x=pm1](https://tex.z-dn.net/?f=x%3Dpm1)
Горизонтальные асимптоты:
![displaystyle dfrac{x^2}{x^2-1} = dfrac{x^2pm1}{x^2-1} =1+ frac{1}{x^2-1} to_{nto infty}1 displaystyle dfrac{x^2}{x^2-1} = dfrac{x^2pm1}{x^2-1} =1+ frac{1}{x^2-1} to_{nto infty}1](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+dfrac%7Bx%5E2%7D%7Bx%5E2-1%7D+%3D+dfrac%7Bx%5E2pm1%7D%7Bx%5E2-1%7D+%3D1%2B+frac%7B1%7D%7Bx%5E2-1%7D+to_%7Bnto+infty%7D1)
- горизонтальная асимтота
Наклонных асимптот нет.
2. Исследуем на четность.
Поскольку
3. Функция не периодическая.
4. Точки пересечения с осью Ох и Оу.
4.1. С осью Ох (если у=0)
4.2. C осью Оу (если х = 0)
5. Точки экстремумы и монотонность функции:
Приравниваем производную функции к нулю:
__+___(-1)__+___(0)___-___(1)___-____
Функция возрастает на промежутке
В окрестности точки
5. Точки перегиба.
Вычисляем вторую производную функции:
Приравниваем к нулю
Уравнение решений не имеет, так как левая часть уравнения принимает только положительные значения.
___+____(-1)___-____(1)___+___
На промежутке
Вертикальные асимптоты:
Горизонтальные асимптоты:
Наклонных асимптот нет.
Приложения:
![](https://st.uroker.com/files/f7a/f7a717ee0e92774916141c8eb51271ef.png)
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
7 лет назад
7 лет назад
9 лет назад
9 лет назад
9 лет назад