Question

3^(2n+1) + 2*4^n  доказать, что при любых n принадлежащих N, кратно 5

Answer 1

Док-во с помощью ММИ.
1) проверим для n = 1:
3^(2+1) + 2*4^1 = 35 - кратно 5
2) предположим, что для n = k (k > 1) утверждение верно:
А = 3^(2k+1) + 2*4^k кратно 5
3) докажем, что оно также верно и для n = k+1:
3^(2(k+1)+1) + 2*4^(k+1) =
= 3^(2k+2+1) + 2*4^k * 4^1 =
= 3^2 * 3^(2k+1) + 8*4^k = 9 * 3^(2k+1) + 8*4^k = / выделим из этой суммы выражение А (из пункта 2) / =
= (4 * 3^(2k+1) + 8*4^k) + 5 * 3^(2k+1) =
= 4А + 5 * 3^(2k+1).
Имеем: первое слагаемое кратно 5 (см пункт 2); второе слагаемое кратно 5, так как имеет множитель 5. Следовательно, вся сумма кратна 5 => утверждение тоже верно => изначальное выражение кратно 5 при любых n из N, чтд.