Question

300 ящиках упакованы апельсины. Известно, что один ящик не может вместить более 120 апельсинов. Докажите, что имеются по крайней мере 3 ящика с одинаковым числом апельсинов. Решить с помощью принципа Дирихле

Answer 1

В ящиках упакованы апельсины, значит пустых нет, минимально один апельсин в ящике. Пусть в первом ящике будет один апельсин, тогда во втором, чтобы количество апельсинов было другое - будет на один апельсин больше, т.е. два апельсина. По такому принципу получится максимум 120 ящиков с различным, не повторяемым количеством апельсинов в каждом ящике: в первом -один, во втором - два....в стодвадцатом ящике-120апельсинов. Ещё 120 ящиков, по количеству в них апельсинов, будут попарно одинаковы с этими первыми 120-ью ящиками. Таким образом 120+120=240 ящиков это максимум трижды неповторимых, по количеству апельсинов, ящиков. А вот 241-й ящик неизбежно по своему содержимому (хоть 1 апельсин, хоть  2, и т.д. 120 апельсинов в нём) будет одинаков с двумя другими. Т.е. из 300 ящиков минимум 60 ящиков будут иметь одинаковое количество апельсинов (при условии, что ящик не может вместить более120 апельсинов).