Question

исследуйте последовательность xn= 2n^2-1/ n^2 на ограниченность и монотонность.

Answer 1

$x_n=2n^2-dfrac1{n^2}$

Ограниченность: 
$limlimits_n2n^2-dfrac1{n^2}=limlimits_n2n^2-limlimits_ndfrac1{n^2}=+infty-0=+infty$
$2n^2-dfrac1{n^2}geqslant 2cdot1^2-dfrac1{1^2}=1$
Последовательность ограничена снизу и не ограничена сверху

Монотонность:
$x_{n+1}-x_n=2(n+1)^2-dfrac1{(n+1)^2}-2n^2+dfrac1{n^2}=4n+2+dfrac{2n+1}{n^2(n+1)^2}\ x_{n+1}-x_n textgreater 0\ x_{n+1} textgreater x_n$
Последовательность монотонно возрастает