Question

Решите в целых числах уравнение 1+x+y^2=2*x*y. Укажите наименьшую сумму пары ответов (x;y).

Answer 1

В заданном уравнении 1+x+y^2=2*x*y сделаем перестановку:
y^2 - 2*x*y = -1 -х.
Добавим к обеим частям х².
y^2 - 2*x*y + х² = х² - х - 1.
Левая часть - это полный квадрат.
(у + х)² =х² - х - 1.
Извлечём корень из обеих частей:
у - х = +-√(х² - х - 1).
Отсюда уравнение приобретает вид:
у = х +- √(х² - х - 1).
Определяем ОДЗ по корню:
х² - х - 1 ≥ 0.
Это уравнение параболы ветвями вверх.
Значения у ≥ 0 лежат выше точек пересечения её с осью х.
х² - 1 - х = 0
 Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=(-1)^2-4*1*(-1)=1-4*(-1)=1-(-4)=1+4=5;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x₁=(√5-(-1))/(2*1)=(√5+1)/2=√5/2+1/2=√5/2+0.5 ≈ 1.61803;x₂=(-√5-(-1))/(2*1)=(-√5+1)/2=-√5/2+1/2=-√5/2+0.5 ≈ -0,61803.

Ближайшие целые значения лежат левее точки х₁ и правее точки х₂.
 
Ответ:
х₁ = -1  у₁ = -1 +√(1+1-1) = 0.
х₂ = -1  у₂ = -1 - √(1+1-1) = -2.
х₃ = 2   у₃ = 2 + √(4-2-1)  = 3.
х₄ = 2   у₄ = 2 - √(4-2-1)  = 1.