Question

Вершины треугольника АВС имеют координаты : А(-2:2), В(1:4), С (0:0). Составьте уравнения : 1)сторон: 2)медиан этого треугольника.
Найти площадь и периметр, длину средней линии // ВС

Answer 1

1) Уравнения сторон.
    АВ : (Х-Ха) / (Хв-Ха)  = (У-Уа) / (Ув-Уа)
    (Х-(-2)) / (1-(-2)) = (У-2) / (4-2)
    (Х+2) / 3 = (У-2) / 2  это каноническая форма уравнения.
Преобразуем в общую форму:
2х + 4 = 3у - 6
2х - 3у + 10 = 0
Выразим в виде уравнения с коэффициентом:
у = (2/3)х + (10/3)
или  у = 0,666667 х + 3,33333.

Сторона ВС : (Х-Хв) / (Хс-Хв) = (У-Ув) / (Ус-Ув).
Каноническая форма: (Х-Хв) /(-1)= (У-Ув) / (-4).
Общая форма:  4 Х - У = 0.
Уравнение с коэффициентом: у = 4х.
                        
Сторона АС : (Х-Ха) / (Хс-Ха) = (У-Уа) / (Ус-Уа).
Каноническая форма: (Х + 2) / 2 = (У- 2) / -2.
Общая форма:  -2Х - 4 - 2У + 4 = 0.
-2х - 2у = 0
или х + у = 0
Уравнение с коэффициентом: у = -х.

2) Уравнения медиан.
Находим координаты середин сторон:
Основания медиан (точки пересечения медиан со сторонами). А₁(Ха1;Уа1) ((Хв+Хс) / 2; (Ув+Ус) / 2).
        х      у
 А₁ (0,5 ;  2).

В₁(Хв1;Ув1) ((Ха+Хс) / 2; (Уа+Ус) / 2)
       х     у
В₁ (-1 ;  1).

C₁(Хс1;Ус1) ((Ха+Хв) / 2; ((Уа+Ув) / 2)
         х     у
 С₁ (-0,5 ; 3).

Теперь по координатам точек можно составить уравнения медиан.
АА₁ : (Х-Ха) / (Ха1-Ха)  = (У-Уа) / (Уа1-Уа).
        (х + 2) / 2,5 = (у - 2) / 0.
        2.5 У - 5 = 0.
        у = 2

ВВ₁ : (Х-Хв) / (Хв1-Хв) = (У-Ув) / (Ув1-Ув)
        (х - 1) / 2 = (у - 4) / (-3).
        -3 Х + 2 У - 5 = 0
или, поменяв знаки,  3 Х - 2 У + 5 = 0.
        у = 1.5 х + 2.5.

СС₁ : (Х-Хс) / (Хс1-Хс) = (У-Ус) / (Ус1-Ус).
        (Х-0) / (-0,5) = (У-0) / 3.
         6 Х + У = 0.
          у = -6х.

3) Площадь треугольника:
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 5.

4) Периметр Р =  АВ+BC+ AC.
Расчет длин сторон:
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √13 = 3.605551275,
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √17 = 4.123105626,
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √8 = 2.828427125.
Тогда Р = 3,605551275 + 4,123105626 +2,828427125 =  10,55708.

5) Длина средней линии // ВС равна (1/2)*ВС = (1/2)* 4,123105626 =
=  2.061552813.