Question

внетерпеж пишется с мягким знаком или без

Answer 1

Внетерпеж пишется без мягкого знака! внетерпеж потому что мужского рода     х 

Answer 2

Наречие :  НЕВТЕРПЕЖ
Это слово  - исключение  из правил.

На конце наречий  с основой на шипящую ПИШЕТСЯ  мягкий знак.
Исключения:  уж (=уже) , замуж , невтерпеж.