Question

Решить уравнение: sin2x+2ctgx=3

Answer 1

$sin2x+2ctg x=3\ 2sin xcos x+2cdot dfrac{cos x}{sin x}=3 \ \ 2sin xcdot bigg| sqrt{1-sin^2x}, bigg|+2cdot dfrac{bigg| sqrt{1-sin^2x},bigg| }{sin x} =3$
Пусть $sin x =t$, тогда получаем:
$2tbigg| sqrt{1-t^2} ,bigg|+2cdot dfrac{bigg| sqrt{1-t^2} ,bigg|}{t} =3$

ОДЗ: $1-t^2 textgreater 0;,,,, and,,,,,, tne 0$

$2t sqrt{1-t^2} +2cdot dfrac{sqrt{1-t^2}}{t} =3 |cdot t\ \ 2t^2 sqrt{1-t^2} +2 sqrt{1-t^2} =3t\ \ 2 sqrt{1-t^2} (t^2+1)=3t$

Возведем обе части в квадрат

$4(1-t^2)(t^2+1)^2=9t^2$
Пусть $t^2=a$, причем $a geq 0$

$-4(a-1)(a+1)^2-9a=0\ -4a^3-4a^2+4a+4-9a=0\ 4a^3+4a^2+5a-4=0$
Добавим и вычтем некоторые слагаемые:
$4a^3-2a^2+6a^2-3a+8a-4=0\ 2a^2(2a-1)+3a(2a-1)+4(2a-1)=0\ (2a-1)(2a^2+3a+4)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$2a-1=0\ a=dfrac{1}{2}$

$2a^2+3a+4=0$
Вычислим дискриминант квадратного уравнения:
$D=b^2-4ac=3^2-4cdot2cdot 4 textless 0$
$D textless 0$, значит квадратное уравнение действительных корней не имеет.

Обратная замена

$t^2=dfrac{1}{2}\ \ t=pmdfrac{1}{sqrt{2}}$

Корень $x=-dfrac{1}{sqrt{2}}$ - лишний

$x= dfrac{pi}{4} +pi k,k in mathbb{Z}$