Question

Чему равен arcsin (sin 5) ?

Answer 1

по определению арксинуса:
$arcsin(sinx)=x, x in[- frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} ] \sin(arcsinx)=x, x in [-1;1]$
обозначим arcsin(sin(5)) как y
$y=arcsin(sin(5)), y in[- frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} ]$
возьмем синус с обоих частей
$sin(y)=sin(arcsin(sin(5)))$
$sin(y)=sin(5) \sin(y)-sin(5)=0$
применим формулу разности синусов:
$2sin( frac{y-5}{2} )*cos( frac{y+5}{2} )=0 \sin( frac{y-5}{2} )*cos( frac{y+5}{2} )=0 \sin( frac{y-5}{2} )=0 \ frac{y-5}{2} =pi n \y-5=2pi n \y_1=5+2pi n, n in Z \cos( frac{y+5}{2} )=0 \ frac{y+5}{2} = frac{pi}{2} +pi n, n in Z \y+5=pi+2pi n \y_2=pi-5+2pi n, n in Z$
подберем такое значение n, чтобы значение y входило в $[- frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} ]$
при этом рассматриваем только y1, поскольку у нас арксинус.
$pi approx 3,14 Rightarrow [- frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} ] textless = textgreater [-1,57;1,57] \n=0 \y=5notin [-1,57;1,57] \n=1 \y=5+2pi approx5+6,28notin [-1,57;1,57] \n=-1 \y=5-2piapprox 5-6,28=-1,28in [-1,57;1,57] \n=-2 \y=5-4piapprox -7,56 notin [-1,57;1,57]$
нам подошло только n=-1, и при нем значение $y=5-2pi$
А поскольку $arcsin(sin(5))=y$, то $arcsin(sin(5))=5-2pi$
В итоге:
$arcsin(sin(5))=5-2pi$