Question

Решите, пожалуйста. ПС. не знаете правильного решения, не пишите ничего

Answer 1

Задания даны без начальных условий. А значит, получить конкретные решения дифференциальных уравнений – невозможно.




Если не понятно, что такое начальные условия, поясню.

Например, есть дифференциальное уравнение:

$y'' + pi^2 y = 0$     с начальными условиями     $( x_o ; y_o ) = ( pm 1 ; 5 )$

Очевидно, множество решений такого дифференциального уравнения, это:

$y = C_o cos{ ( pi x + C_1 ) } ,$

где $C_o$ и $C_1$ – какие-то неопределённые коэффициенты, которые можно определить через начальные условия.

Во-первых, убедимся,
что общее решение     $y = C_o cos{ ( pi x + C_1 ) }$     – вообще верно.

$y'_x = - C_o pi sin{ ( pi x + C_1 ) } ;$

$y''_x = - C_o pi^2 cos{ ( pi x + C_1 ) } ;$

$y'' + pi^2 y = - C_o pi^2 cos{ ( pi x + C_1 ) } + pi^2 C_o cos{ ( pi x + C_1 ) } = 0 ;$

итак, общее решение действительно верно.

Найдём конкретное решение,
подставив вместо $x$ и $y$ – начальные условия $( x_o ; y_o ) = ( pm 1 ; 5 ) :$

$5 = C_o cos{ ( pi + C_1 ) } = C_o cos{ ( - pi + C_1 ) } ,$

поскольку косинус – чётная функция, то $C_1 = 0 ,$ и тогда:

$5 = C_o cos{ pi } ,$    откуда:    $C_o = frac{5}{ cos{ pi } } = frac{5}{ -1 } = -5 ;$

Окончательно, конкретное решение дифференциального уравнения $y'' + pi^2 y = 0$    с данными начальными условиями    $( x_o ; y_o ) = ( pm 1 ; 5 ) :$

$y = - 5 cos{ pi x } .$




Теперь о ваших задачах.



З А Д А Ч А . № . 1


$( 3 + e^x ) y dy = e^x dx ;$


Как и всегда, перетаскиваем всё в одну сторону:

$y dy = frac{ e^x dx }{ 3 + e^x } ;$


Интегрируем:

$int{y} , dy = int frac{ e^x dx }{ 3 + e^x } ;$

$frac{y^2}{2} + C = int frac{ d( e^x + 3 ) }{ e^x + 3 } ;$

$y^2 = 2 ln{ ( e^x + 3 ) } + C ;$

$y = pm sqrt{ 2 ln{ frac{ e^x + 3 }{K} } } ;$


Более точное решение этого дифференциального уравнения (как и любого другого) может быть дано только при наличии начальных условий.







З А Д А Ч А . № . 2


$y' = frac{ x + 2y }{ 2x - y } ;$

$frac{dy}{dx} = frac{ x + 2y }{ 2x - y } ;$

$( 2x - y )dy = ( x + 2y )dx ;$


Переходим к уравнению с компонентом однородного     $frac{y}{x} :$

$( 2x - y ) cdot d ( frac{y}{x} cdot x ) = ( x + 2y )dx ; || : x ;$

$( 2 - frac{y}{x} ) cdot d ( frac{y}{x} cdot x ) = ( 1 + 2 frac{y}{x} )dx ;$


Раскрываем составной дифференциал     $d ( frac{y}{x} cdot x )$

через общее правило $d z t = z dt + t dz :$

$( 2 - frac{y}{x} ) ( frac{y}{x} dx + x d ( frac{y}{x} ) ) = ( 1 + 2 frac{y}{x} )dx ;$

$2 frac{y}{x} dx + 2 x d ( frac{y}{x} ) - ( frac{y}{x} )^2 dx - frac{y}{x} cdot x d ( frac{y}{x} ) = dx + 2 frac{y}{x} dx ;$

$2 x d ( frac{y}{x} ) - frac{y}{x} cdot x d ( frac{y}{x} ) = dx + ( frac{y}{x} )^2 dx ;$

$x ( 2 - frac{y}{x} ) d ( frac{y}{x} ) = ( 1 + ( frac{y}{x} )^2 ) dx ;$

$frac{ 2 - y/x }{ 1 + ( y/x )^2 } d ( frac{y}{x} ) = frac{dx}{x} ;$


Переменные разделены на основную и однородную. Теперь интегрируем:

$int{ frac{ 2 - y/x }{ 1 + ( y/x )^2 } } , d ( frac{y}{x} ) = int{ frac{dx}{x} } ;$

$2 int{ frac{1}{ 1 + ( y/x )^2 } } , d ( frac{y}{x} ) - frac{1}{2} int{ frac{1}{ 1 + ( y/x )^2 } } , 2 frac{y}{x} d ( frac{y}{x} ) = ln{|x|} + C ;$

$2 int{ frac{ d ( x/y ) }{ 1 + ( y/x )^2 } } - frac{1}{2} int{ frac{ d ( 1 + ( y/x )^2 ) }{ 1 + ( y/x )^2 } } = ln{|x|} + C ;$

$2 arctg{ frac{y}{x} } - frac{1}{2} ln{ ( 1 + ( frac{y}{x} )^2 ) } = frac{1}{2} ln{x^2} + C ;$

$4 arctg{ frac{y}{x} } = ln{ ( 1 + ( frac{y}{x} )^2 ) } + ln{x^2} + C ;$

$4 arctg{ frac{y}{x} } = ln{ ( x^2 + y^2 ) } + C ;$

или      $4 arctg{ frac{y}{x} } = ln{ frac{ x^2 + y^2 }{R^2} } .$


Более точное решение этого дифференциального уравнения (как и любого другого) может быть дано только при наличии начальных условий.

Answer 2

Да. Таки вот. По поводу начальных условий. В общих решениях ваших заданий (в последних строчках каждой задачи) присутствуют неопределённые величины: R и K. Это какие-то константы, которые можно было бы найти только при задании начальных условий. На всякий случай, замечу, что в таких общих решениях ваших заданий, константа K > 0, а константа R – любое вещественное число, фиксированное в каждом конкретном (частном) решении.

Answer 3

Х-1+1=3