Question

ПОМОГИТЕ!НАЙДИТЕ ИНТЕГРАЛ!

Answer 1

$int frac{x^2-5x+1}{(x-1)(x^2+2x+4)} dx=I\\ frac{x^2-5x+1}{(x-1)(x^2+2x+4)} = frac{A}{x-1} + frac{Bx+C}{x^2+2x+4} = frac{A(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+2x+4)} \\x^2-5x+1=A(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x-1)\\x^2; |; A+B=1,; ; to ; ; B=1-A\\x; |; 2A-B+C=-5,; ; to ; ; 3A+C=-4\\x^0; |; 4A-C=1,; ; to ; ; C=4A-1; ,; \\3A+C=3A+4A-1=-4,; ; 7A=-3,; A=-frac{3}{7} \\C=-frac{12}{7}-1=-frac{19}{7} ,; B=1+frac{3}{7}=frac{10}{7}$

$I=-frac{3}{7}int frac{dx}{x-1}+int frac{frac{10}{7}x-frac{19}{7}}{x^2+2x+4} dx=-frac{3}{7}ln|x-1|+int frac{frac{10}{7}x-frac{19}{7}}{(x+1)^2+3} dx=\\=[t=x+1,; x=t-1,; dx=dt]=-frac{3}{7}ln|x-1|+int frac{frac{10}{7}t-frac{29}{7}}{t^2+3}dt=\\=-frac{3}{7}ln|x-1|+frac{10}{7}cdot frac{1}{2}int frac{2t, dt}{t^2+3}-frac{29}{7}int frac{dt}{t^2+3}=-frac{3}{7}ln|x-1|+\\+frac{5}{7}ln|t^2+3|-frac{29}{7}cdot frac{1}{sqrt3}arctgfrac{t}{sqrt3}+C=-frac{3}{7}ln|x-1|+$

$+frac{5}{7}ln|x^2+2x+4|-frac{29}{7sqrt3}arctgfrac{x+1}{sqrt3}+C$