Question

Вася выбрал несколько различных натуральных чисел Среднее геометрическое двух самых маленьких из них равно 4,а среднее геометрические двух самых больших равно 15 Чему равна сумма всех Васиных чисел?

Answer 1

Средне-геометрическим двух неотрицательны чисел   $p$   и   $q$
называют величину   $G = sqrt{ p cdot q } .$

Если это выражение возвести в квадрат и слева и справа,
то мы получим, что:   $G^2 = ( sqrt{ p cdot q } )^2$

или просто:   $p cdot q = G^2 ;$

Тогда условие задачи, можно переформулировать так: «произведение двух самых маленьких чисел равно   $4^2 = 16 ,$   а произведение двух самых больших равно   $15^2 = 225 .$   »


Произведение 16 можно составить из разных натруральных чисел
только двумя способами:

I.     $16 = 1 cdot 16 ;$

II.     $16 = 2 cdot 8 ;$


Поскольку это должны быть минимальные числа,
то остальные числа могут быть только больше.


I*   В первом случае остальные числа могут быть только больше    $16 ,$    т.е.:    ${ 17, 18, 19, 20, 21 ... } ;$

Но произведение даже $17 cdot 18 = 306 > 225 ;$

И произведение любых двух чисел, больших, чем    $16$    каждое – будет, очевидно, больше чем    $16 cdot 16 = 256 ,$    т.е. больше    $225 ,$     а значит, при выборе минимальных чисел в виде     $1$    и     $16$    – подобрать остальные числа невозможно.


II*   Во втором случае остальные числа могут быть только больше    $8 ,$    т.е.:    ${ 9, 10, 11, 12, 13 ... } ;$

Рассмотрим разложение на множители числа     $225 = 15^2 = 3^2 5^2 ;$

$225 = 1 cdot 225 = 3 cdot 75 = 5 cdot 45 = 9 cdot 25 = 15 cdot 15 ;$

На подойдут только числа, большие восьми и не равные друг другу,
т.е.    $9$    и    $25 .$




Таким образом Вася выбрал числа $2, 8, 9$    и    $25 .$

В диапазон между     $2$    и    $8$     Вася никаких чисел добавить не мог бы, поскольку тогда минимальные числа стали бы другими, и их произведение уже не было бы    $16 .$

Между     $8$    и    $9$     никаких натуральных чисел нет.

В диапазон между     $9$    и    $25$     Вася тоже никаких чисел добавить не мог бы, поскольку тогда максимальные числа стали бы другими, и их произведение уже не было бы    $225 .$


Сумма всех Васиных чисел:     $2 + 8 + 9 + 25 = 44 ;$



О т в е т : $44 .$