Question

На продолжении стороны АС треугольника АВС отмечена точка М. Известно, что СМ=2АС, угол СВА=15 град., угол САВ=45 град. Найдите угол АМВ.

Answer 1

Исходя из того, что в любом треугольнике сумма углов равна   $180^o ,$   легко понять, что   $angle BCA = 120^o .$

Для любого треугольника верно, что отношение любой его стороны к синусу противолежащего угла – постоянно, тогда:

[1]    $frac{AB}{ sin{ 120^o } } = frac{CB}{ sin{ 45^o } } ;$

Проведём   $CN$   так, чтобы   $angle BCN = 45^o .$

Тогда   $angle CNB = 120^o .$

Опять же из соотношения синусов:

[2]    $frac{CB}{ sin{ 120^o } } = frac{NB}{ sin{ 45^o } } ;$


Перемножим выражения [1] и [2]:

$frac{AB}{ sin{ 120^o } } cdot frac{CB}{ sin{ 120^o } } = frac{CB}{ sin{ 45^o } } cdot frac{NB}{ sin{ 45^o } } ;$

$frac{AB}{ sin^2{ 120^o } } = frac{NB}{ sin^2{ 45^o } } ;$

[3]   $AB sin^2{ 45^o } = NB sin^2{ 120^o } ;$


Учитывая, что:   $sin{ 120^o } = sin{ 60^o } = frac{ sqrt{3} }{2}$   и   $sin{ 45^o } = frac{ sqrt{2} }{2} ,$   а значит:

$sin^2{ 120^o } = frac{3}{4}$   и   $sin{ 45^o } = frac{1}{2} ,$   получим из выражения [3] :

$AB cdot frac{1}{2} = NB frac{3}{4} ;$

$AB = NB frac{3}{2} ;$

$NB = frac{2}{3} AB ;$


Это как раз и позволит разрешить поставленный вопрос.

$NA = frac{1}{3} AB ;$

т.е.: NA : NB = 1 : 2 = CA : CM .

По Теореме Фалеса, пропорциональные отрезки на сторонах треугольника отсекаются параллельными прямыми, а значит:

$MB || CN ;$

$angle M = angle NCA = 180^o - 60^o - 45^o = 75^o ;$


О т в е т : $75^o .$

Answer 2

Огромное Вам спасибо!