Question

Верёвочку длины 1 и верёвочку длины 2 разрезали на несколько частей каждую. Все части оказались равными по длине . Сколько могло получиться частей?
А) 2014 Б) 2015 В) 2016 Г) 2017 Д)2018

Answer 1

При разрезании верёвочки длины 1 на   $n geq 2$   равных частей
у кваждой будет длина   $frac{1}{n} .$

Для того, чтобы кусочки верёвочки длины 2 после разрезания были бы такой же длины, т.е.   $frac{1}{n} ,$   нужно разрезать верёвочку длины 2 на   $2 : frac{1}{n} = 2 cdot frac{n}{1} = 2 n$   частей.

Значит всего будет   $n + 2n = 3n$   частей.

Проще говоря, на сколько бы частей не разрезали эти верёвочки, общее число всех кусочков непременно окажется кратным трём, т.е. должно делиться на три. По признаку делимости на три, и сумма цифр такого числа обязательно должна делиться на три.

Если предлагаются варианты ответов: 2014, 2015, 2016, 2017 или 2018, то единственным подходящим вариантом будет 2016, поскольку:

$2 + 0 + 1 + 4 = 7 ,$   не делится на три.

$2 + 0 + 1 + 5 = 8 ,$   не делится на три.

$2 + 0 + 1 + 6 = 9 ,$   делится на три!

$2 + 0 + 1 + 7 = 10 ,$   не делится на три.

$2 + 0 + 1 + 8 = 11 ,$   не делится на три.



О т в е т :  (В)  2016 .