Question

Даны два числа- х и у. Известно, что их сумма и произведение(т.е. х+у и ху) -целые. докажите, что х в 8ой степени +у в 8ой степени тоже целое

Answer 1

$x^8+y^8=(((x+y)^2-2xy)^2-2x^2y^2)^2-2x^4y^4$
Это тождество легко проверяется последоватльным раскрытием скобок, начиная с самых внутренних. Видим, что вначале получается $x^2+y^2$, потом оно возводится в квадрат и вычитается удвоенное произведение квадратов х и у. Получается $x^4+y^4$. Потом это опять возводится в квадрат и вычитается удвоенное произведение. Т.е. сумма восьмых степеней есть умножение и вычитание целых чисел (x+y) и xy, значит она тоже - целое число.